Линейные операторы в квантовой механике. Кирсанов А.А. - 12 стр.

                                                                         12

          ∫u
                     2
                i        dx = 1,                                  (20)
    где интегрирование ведётся по области определения функций.
    Функции, удовлетворяющие условию (20) называются нормиро-
    ванными, а система взаимно-ортогональных и нормированных
    функций называется ортонормированной. При наличии вырож-
    денных собственных значений собственные функции удобно ну-
    меровать двумя индексами: первый индекс указывает номер соб-
    ственного значения, а второй - номер собственной функции, от-
    носящийся к данному собственному значению. Тогда ортонор-
    мированность системы функций запишется в виде:

          ∫u         u mn dV = δ km δ ln ,
                *
                kl                                                (21)

                     1, если i = j
    где δ ij =                     символ Кронекера. Ради простоты запи-
                     0, если i ≠ j
    си формул мы будем ниже нумеровать функции одним символом.
         Условие ортонормированности функций непрерывного спек-
    тра имеет несколько другой вид, который мы рассматривать не
    будем.
         В математике доказывается, что если система собственных фун-
    кций эрмитовых операторов является не только ортогональной, но
    и полной, что значит, что любую функцию Ψ ( x ) , удовлетворяю-
    щую тем же граничным условиям, что и собственные функции ui ( x ) ,
    можно представить в виде ряда по этим функциям:
          Ψ ( x ) = ∑ cn u n ( x ) .                              (22)
                            n

        Напомним, что в математическом анализе изучаются ряды
    Фурье по ортонормированным функциям
      1    1          1          1            1
         ,    cos x ,    sin x ,    cos 2 x ,    sin 2 x , ... на отрезке
      2π    π          π          π            π
    [− π, π]:


PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com