Линейные операторы в квантовой механике. Кирсанов А.А. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

5
что операторы
x
i
∂
∂
, оператор Лапласа
∆
(в одномерном случае
2
2
x
∂
∂
)
– эрмитовые операторы, а оператор
dx
d
- не эрмитовый. Проверим,
например, что оператор
dx
d
iL =
€
эрмитовый. Подставляя этот опе-
ратор в (3) и производя интегрирование по частям по области опре-
деления функции
[
]
ba,
, получим
∫∫∫
=−=
b
a
b
a
b
a
b
a
dxu
dx
d
iudx
dx
du
uiuiudx
dx
du
iu
*
1
*
2
*
1
22
*
1
2
*
1 .(4)
(Член
0
2
*
1
=
b
a
uiu
, так как на границах области определения фун-
кции
1
u
и
2
u
обращаются в нуль).
§2. Действия над операторами
Суммой операторов
B
A
€€
+
называется оператор
BAC
€
+=
,
действие которого на функцию
(
)
xu
выражается равенством:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
xuBxuAxuBAxuC
€
€
+=+=
. (5)
Например, суммой операторов
2
xA =
и
2
2
€
dx
d
B =
является опе-
ратор
2
2
2
dx
d
x +
, действующий на функцию
(
)
xu
следующим
образом:
(
)
() () ()
xu
dx
d
xuxxuBA
2
2
2
€
€
+=+
. (6)
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                                                   5

                            ∂                                           ∂2
    что операторы i            , оператор Лапласа ∆ (в одномерном случае 2 )
                            ∂x                                          ∂x
                                                         d
    – эрмитовые операторы, а оператор                       - не эрмитовый. Проверим,
                                                         dx
                                               d
    например, что оператор L€ = i                 эрмитовый. Подставляя этот опе-
                                               dx
    ратор в (3) и производя интегрирование по частям по области опре-
    деления функции [a, b] , получим
                                                                       *
                                                            d 
          b                                b                     b
                  du 2                       du *
         ∫ u1 i        dx = iu1*u 2 − i ∫ u 2 1 dx = ∫ u 2  i  u1* dx . (4)
            *                      b


          a
                   dx              a
                                        a
                                             dx      a      dx 
                    b
            *
    (Член iu1 u 2       = 0 , так как на границах области определения фун-
                    a

    кции u1 и u 2 обращаются в нуль).

                            §2. Действия над операторами

         Суммой операторов A€ + B€ называется оператор C€ = A€ + B€ ,
    действие которого на функцию u ( x ) выражается равенством:

                        (      )
         C€u ( x ) = A€ + B€ u ( x ) = A€u ( x ) + B€u ( x ) .               (5)

                                        €   d2
                                €
    Например, суммой операторов A = x и
                                     2  B =      является опе-
                                            dx 2
                    d2
    ратор x +            , действующий на функцию u ( x ) следующим
              2

                    dx 2
    образом:

         (A€ + B€)u(x ) = x u (x ) + dxd
                                               2
                                2
                                               2
                                                   u (x ) .                  (6)




PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы