Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

116 Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ
Ïîêàæåì, ÷òî (4.5.37) åñòü èíòåãðàë ýíåðãèè. Òàê êàê äàííàÿ â çà-
äà÷å ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ÿâëÿåòñÿ êîíñåðâàòèâíîé, ìû ìîæåì
äëÿ íå¸ íàïèñàòü
hVT =+
, èëè
()
h
r
k
rrm
=−+
2
222
2
1
ϕ
&
&
. (4.5.38)
Ñ ó÷¸òîì (4.5.31), ïîëó÷èì
h
r
k
mr
p
rm =−+
2
2
2
2
22
1
&
. (4.5.39)
Èç (4.5.37) è (4.5.39) ñëåäóåò, ÷òî
hh =
′
.
Ðàññìîòðèì äâèæåíèÿ, íå óõîäÿùèå â áåñêîíå÷íîñòü. Äëÿ òàêèõ
äâèæåíèé â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.5.39),
0<h
.
Ââåä¸ì îáîçíà÷åíèå
2
β
−=h . Ïðåîáðàçóåì (4.5.37) ê âèäó
−+−=
2
2
2
2
2
2
β
r
k
mr
p
mdt
dr
,
èëè
2
2
2
2
2
2
β
−+−
=
r
k
mr
p
dr
dt
m
. (4.5.40)
Ñäåëàåì åù¸ íåñêîëüêî ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé.
=
−
β
−
β
β
=
β−+−
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
r
m
p
r
k
rdr
r
k
mr
p
dr
()
2
rab
ardr
−−β
=
116                                                              Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ
     Ïîêàæåì, ÷òî (4.5.37) åñòü èíòåãðàë ýíåðãèè. Òàê êàê äàííàÿ â çà-
äà÷å ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ÿâëÿåòñÿ êîíñåðâàòèâíîé, ìû ìîæåì
äëÿ íå¸ íàïèñàòü T + V = h , èëè

        m(r& 2 + r 2ϕ& 2 ) −
      1                      k2
                                = h.                                    (4.5.38)
      2                      r
      Ñ ó÷¸òîì (4.5.31), ïîëó÷èì

      1 2      p2     k2
        mr& +       −    = h.                                           (4.5.39)
      2       2mr 2    r
      Èç (4.5.37) è (4.5.39) ñëåäóåò, ÷òî h ′ = h .
      Ðàññìîòðèì äâèæåíèÿ, íå óõîäÿùèå â áåñêîíå÷íîñòü. Äëÿ òàêèõ
äâèæåíèé â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.5.39), h < 0 .
      Ââåä¸ì îáîçíà÷åíèå         h = − β 2 . Ïðåîáðàçóåì (4.5.37) ê âèäó

      dr       2     p2     k2        
         =        −    2
                           +    − β 2  ,
      dt       m  2mr       r         
èëè

          2                     dr
            dt =                                 .                      (4.5.40)
          m            p2     k2
                    −       +    −β2
                      2mr 2   r
      Ñäåëàåì åù¸ íåñêîëüêî ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé.

                   dr                                rdr
                                     =                       =
               2        2                    2
             p      k                      k     p2
          −       +    − β2              β 2 r−       − r2
            2mr 2
                     r                     β    2mβ 2



               ardr
      =
          β b − (a − r )
                            2

Страницы