Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 114 стр.

114                                                              Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ
      1. Ðåøåíèå çàäà÷è ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ Ðàóñà.

     Òàê êàê êîîðäèíàòà ϕ ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé, ìû ìîæåì â ñîîò-
âåòñòâèè ñ (4.2.2) è (4.2.6) íàïèñàòü âûðàæåíèå
      ∂L
          = mr 2ϕ& = pϕ = p = const ,                                   (4.5.29)
      ∂ϕ&
ÿâëÿþùååñÿ (ñì. (2.3.5)) èíòåãðàëîì ïëîùàäåé.
     Ñîñòàâèì ôóíêöèþ Ðàóñà (4.2.12)

                               m(r& 2 + r 2ϕ& 2 ) +
                  n
                             1                      k2
      R = L − ∑ p r q& r =                             − pϕ& .          (4.5.30)
                 r =1        2                       r
      Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.5.29)
              p
      ϕ& =        ,                                                     (4.5.31)
             mr 2
ïîëó÷èì äëÿ ôóíêöèè Ðàóñà

             1 2      p2     k2
      R=       mr& −       +    .                                       (4.5.32)
             2       2mr 2    r
      Íàéä¸ì ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå îò ôóíêöèè Ðàóñà

      ∂R                ∂R   p2 k 2
          = mr& ,          =   − .                                      (4.5.33)
      ∂r&               ∂r mr 3 r 2
      Ñîñòàâèì óðàâíåíèå Ðàóñà (4.2.18)

                p2 k 2
      d
         (mr ) − 3 + 2 = 0 ,
           &
      dt        mr  r
èëè

               p2 k 2
      m&r& −       +    = 0.                                            (4.5.34)
               mr 3 r 2
      Èç óðàâíåíèÿ (4.5.34) ìîæíî îïðåäåëèòü         r êàê ôóíêöèþ âðåìåíè.
                                                        1
Äëÿ ýòîãî íóæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ çàìåíîé            r=     è ñ ó÷¸òîì (4.5.31)
                                                        u