Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

112 Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ
∑
=
∂
∂
=
′
n
m
m
m
q
q
q
L
L
1
1
&
&
&
. (4.5.25)*
 îáùåì ñëó÷àå ýòà ñèñòåìà, òàê æå êàê è ñèñòåìû, ïîëó÷àþùèåñÿ
îò ïðèâåäåíèÿ ñèñòåì ñ öèêëè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè, íå áóäåò íàòóðàëü-
íîé. Íî òàê êàê óðàâíåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê èìåþò ôîðìó
óðàâíåíèé Ëàãðàíæà, òî áîëüøèíñòâî ïîëîæåíèé îòíîñèòåëüíî äèíà-
ìè÷åñêèõ ñèñòåì áóäåò ñïðàâåäëèâî òàê æå è äëÿ íå¸.
Èíòåãðàë ýíåðãèè äà¸ò, òàêèì îáðàçîì, âîçìîæíîñòü ïðèâåñòè
äàííóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ n ñòåïåíÿìè ñâî-
áîäû ê íåêîòîðîé äðóãîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ
1−n
ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
 îáùåì ñëó÷àå íîâàÿ ñèñòåìà íå äîïóñêàåò èíòåãðàëà ýíåðãèè, òàê
êàê íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ
1
q ìîæåò âîéòè ÿâíî â íîâûé êèíåòè÷åñ-
êèé ïîòåíöèàë
L
′
. Íî åñëè äëÿ ïåðâîíà÷àëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàòà
1
q ÿâëÿåòñÿ êîîðäèíàòîé öèêëè÷åñêîé, òî îíà íå âîéä¸ò ÿâíî íè â îäíî
èç äåéñòâèé âûøåèçëîæåííîãî ïðîöåññà ïðèâåäåíèÿ è, ñëåäîâàòåëüíî,
íå âîéä¸ò òàêæå è â L
′
. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå è íîâàÿ ñèñ-
òåìà äîïóñêàåò èíòåãðàë ýíåðãèè constL
q
L
q
n
r
r
r
=
′
−
′
∂
′
∂
′
∑
=
2
, ÷òî ìîæíî
èñïîëüçîâàòü äëÿ äàëüíåéøåãî ïîíèæåíèÿ ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû.
 ñîîòâåòñòâèè ñ âûøåèçëîæåííûì ëþáàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñ
n ñòåïåíÿìè è ñ
1−n
öèêëè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè ìîæåò áûòü ïîë-
íîñòüþ ðàçðåøåíà â êâàäðàòóðàõ. Äëÿ ýòîãî íóæíî ñíà÷àëà, ïîëüçóÿñü
öèêëè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè, ïðèâåñòè ñèñòåìó ê ñèñòåìå ñ îäíîé ñòå-
ïåíüþ ñâîáîäû, êîòîðàÿ äîïóñêàåò èíòåãðàë ýíåðãèè è ïîýòîìó ìîæåò
áûòü ðàçðåøåíà ñïîñîáîì, óêàçàííûì â íà÷àëå ýòîãî ïàðàãðàôà. Ìîæ-
íî ïîñòóïèòü ïî äðóãîìó. Ïðè ïîìîùè èíòåãðàëà ýíåðãèè ïîíèçèòü
÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû íà åäèíèöó, ïðè ïîìîùè èíòåãðàëà ýíåðãèè
íîâîé ñèñòåìû åù¸ íà åäèíèöó è òàê äàëåå, ïîêà íå ïðèä¸ì ê ñèñòåìå ñ
îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû, ðåøåíèå êîòîðîé ìîæåò áûòü îïÿòü íàéäåíî
âûøåóêàçàííûì ñïîñîáîì.
112                                                      Ãëàâà ÷åòâ¸ðòàÿ

            n
                 ∂L q& m
      L′ = ∑              .                                (4.5.25)*
           m =1 ∂q& m q&1
      îáùåì ñëó÷àå ýòà ñèñòåìà, òàê æå êàê è ñèñòåìû, ïîëó÷àþùèåñÿ
îò ïðèâåäåíèÿ ñèñòåì ñ öèêëè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè, íå áóäåò íàòóðàëü-
íîé. Íî òàê êàê óðàâíåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê èìåþò ôîðìó
óðàâíåíèé Ëàãðàíæà, òî áîëüøèíñòâî ïîëîæåíèé îòíîñèòåëüíî äèíà-
ìè÷åñêèõ ñèñòåì áóäåò ñïðàâåäëèâî òàê æå è äëÿ íå¸.
     Èíòåãðàë ýíåðãèè äà¸ò, òàêèì îáðàçîì, âîçìîæíîñòü ïðèâåñòè
äàííóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ n ñòåïåíÿìè ñâî-
áîäû ê íåêîòîðîé äðóãîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ
n − 1 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
       îáùåì ñëó÷àå íîâàÿ ñèñòåìà íå äîïóñêàåò èíòåãðàëà ýíåðãèè, òàê
êàê íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ      q1 ìîæåò âîéòè ÿâíî â íîâûé êèíåòè÷åñ-
êèé ïîòåíöèàë    L′ . Íî åñëè äëÿ ïåðâîíà÷àëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàòà
q1 ÿâëÿåòñÿ êîîðäèíàòîé öèêëè÷åñêîé, òî îíà íå âîéä¸ò ÿâíî íè â îäíî
èç äåéñòâèé âûøåèçëîæåííîãî ïðîöåññà ïðèâåäåíèÿ è, ñëåäîâàòåëüíî,
íå âîéä¸ò òàêæå è â    L′ . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå è íîâàÿ ñèñ-
                                      n
                                                ∂L′
òåìà äîïóñêàåò èíòåãðàë ýíåðãèè      ∑ q′ ∂q′ − L′ = const , ÷òî ìîæíî
                                     r =2
                                            r
                                                  r

èñïîëüçîâàòü äëÿ äàëüíåéøåãî ïîíèæåíèÿ ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû.
      ñîîòâåòñòâèè ñ âûøåèçëîæåííûì ëþáàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñ
n ñòåïåíÿìè è ñ n − 1 öèêëè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè ìîæåò áûòü ïîë-
íîñòüþ ðàçðåøåíà â êâàäðàòóðàõ. Äëÿ ýòîãî íóæíî ñíà÷àëà, ïîëüçóÿñü
öèêëè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè, ïðèâåñòè ñèñòåìó ê ñèñòåìå ñ îäíîé ñòå-
ïåíüþ ñâîáîäû, êîòîðàÿ äîïóñêàåò èíòåãðàë ýíåðãèè è ïîýòîìó ìîæåò
áûòü ðàçðåøåíà ñïîñîáîì, óêàçàííûì â íà÷àëå ýòîãî ïàðàãðàôà. Ìîæ-
íî ïîñòóïèòü ïî äðóãîìó. Ïðè ïîìîùè èíòåãðàëà ýíåðãèè ïîíèçèòü
÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû íà åäèíèöó, ïðè ïîìîùè èíòåãðàëà ýíåðãèè
íîâîé ñèñòåìû åù¸ íà åäèíèöó è òàê äàëåå, ïîêà íå ïðèä¸ì ê ñèñòåìå ñ
îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû, ðåøåíèå êîòîðîé ìîæåò áûòü îïÿòü íàéäåíî
âûøåóêàçàííûì ñïîñîáîì.

Страницы