Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

113
Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ
Ðåøèì çàäà÷ó î äâèæåíèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïîä äåéñòâèåì öåí-
òðàëüíîé ñèëû ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ Ðàóñà è óðàâíåíèÿ Óèòòåêåðà.
Çàäà÷à 23.
Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà À ìàññû m ïðèòÿãèâàåòñÿ ê «íåïîäâèæíî-
ìó» öåíòðó ïî çàêîíó âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå äâè-
æåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè À.
Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî.
Ðåøåíèå çàäà÷è.
Ñâÿæåì ÈÑÎ ñ ëàáîðàòîðèåé, ïîìåñòèâ
íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò â «íåïîäâèæíîì»
öåíòðå. Äàííàÿ çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì çàäà÷è ¹22, åñëè Çåìëþ ïðè-
íÿòü çà ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó ðàñïîëîæåííóþ â «íåïîäâèæíîì» öåíòðå.
 ñîîòâåòñòâèè ñ çàäà÷åé ¹12, ïîëîæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè À áóäåò
âïîëíå îïðåäåëÿòüñÿ ðàäèóñ-âåêòîðîì r è ïîëÿðíûì óãëîì
ϕ
.
Ïóñòü rq =
1
, à
ϕ
=
2
q .
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
ϕ
cosrx =
,
ϕ
sinry
=
, íàïèøåì âûðàæåíèå
äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè
()()
22222
2
1
2
1
ϕ
&
&&&
rryxmT
+=+=
. (4.5.26)
Ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ çàäàäèì ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèÿ
r
k
V
2
−= , (4.5.27)
ãäå
2
k - ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà.
Êèíåòè÷åñêèé ïîòåíöèàë áóäåò èìåòü âèä
()
r
k
rrmL
2
222
2
1
++=
ϕ
&
&
. (4.5.28)
Íàéòè
()
tqqf,,
&
Äàíî
m
Ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ                                                 113
     Ðåøèì çàäà÷ó î äâèæåíèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïîä äåéñòâèåì öåí-
òðàëüíîé ñèëû ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ Ðàóñà è óðàâíåíèÿ Óèòòåêåðà.

       Çàäà÷à 23.

     Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà À ìàññû m ïðèòÿãèâàåòñÿ ê «íåïîäâèæíî-
ìó» öåíòðó ïî çàêîíó âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå äâè-
æåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè À.

       Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî.

Íàéòè           f (q, q& , t )        Ðåøåíèå çàäà÷è.

Äàíî            m              Ñâÿæåì ÈÑÎ ñ ëàáîðàòîðèåé, ïîìåñòèâ
                         íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò â «íåïîäâèæíîì»
öåíòðå. Äàííàÿ çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì çàäà÷è ¹22, åñëè Çåìëþ ïðè-
íÿòü çà ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó ðàñïîëîæåííóþ â «íåïîäâèæíîì» öåíòðå.
 ñîîòâåòñòâèè ñ çàäà÷åé ¹12, ïîëîæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè À áóäåò
âïîëíå îïðåäåëÿòüñÿ ðàäèóñ-âåêòîðîì r è ïîëÿðíûì óãëîì ϕ .

       Ïóñòü   q1 = r , à q2 = ϕ .
     Ó÷èòûâàÿ, ÷òî x = r          cos ϕ , y = r sin ϕ , íàïèøåì âûðàæåíèå
äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè

               m (x& 2 + y& 2 ) = (r& 2 + r 2ϕ& 2 ).
             1                   1
       T =                                                       (4.5.26)
             2                   2
       Ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ çàäàäèì ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèÿ

           k2
       V =− ,                                                    (4.5.27)
           r
ãäå   k 2 - ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà.
       Êèíåòè÷åñêèé ïîòåíöèàë áóäåò èìåòü âèä

               m(r& 2 + r 2ϕ& 2 ) +
             1                      k2
       L=                              .                         (4.5.28)
             2                      r

Страницы