Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 124 стр.

124                                                                                    Ãëàâà ïÿòàÿ

       zr = zr (q1 , q2 ,..., qn , q&1 , q&2 ,..., q&n , t ) ,   (r = 1,2,..., n ) ,      (5.1.1)
è ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ýòè çàâèñèìîñòè ìîãóò áûòü ðàçðåøåíû îòíîñèòåëü-
íî   q&1 , q&2 ,..., q&n , ìîæíî ïðèâåñòè ñèñòåìó óðàâíåíèé (5.1.1) ê ñèñòåìå 2n
óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà.
     Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé íàìè çàäà÷è ðàññìîòðèì ïðåäëîæåí-
íûå Ãàìèëüòîíîì ïåðåìåííûå
               ∂L
        pr =                (r = 1,2,..., n ) .
               ∂q&r ,                                                                     (5.1.2)

       Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â èíòåãðàë ßêîáè (3.5.3), ïîëó÷èì
        n
               ∂L            n

       ∑ q&r
       r =1    ∂q& r
                     − L = ∑ pr q& r − L = H ,
                           r =1

èëè
                n
       H = ∑ pr q&r − L .                                                                 (5.1.3)
               r =1
       Ïîëó÷åííàÿ â (5.1.3) ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé Ãàìèëüòîíà.
Îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó îò                             p r ñ êîýôôèöèåíòà-
ìè, çàâèñÿùèìè îò            q r è t . Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà
       H = H (q1 , q2 ,..., qn , p1 , p2 ,..., pn , t ),                                  (5.1.4)
èëè â êðàòêîé çàïèñè
       H = H (q, p, t )                                                                   (5.1.5)
çàâèñèò îò ïåðåìåííûõ                p , q è t.
     Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ âàðèàöèþ (5.1.3) ïî                             p è q , ïðè êîòî-
ðîé t íå âàðüèðóåòñÿ.
              n
                                  ∂L        ∂L           
       δH = ∑  prδq& r + q&δpr −     δqr −       δq& r  =
            r =1                  ∂qr       ∂q& r        