Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 126 стр.

126                                                                     Ãëàâà ïÿòàÿ

               ∂H                    ∂H
      q& r =              p& r = −           (r = 1,2,..., n ) .
               ∂pr ,                 ∂qr ,                                 (5.1.11)

     Óðàâíåíèÿ (5.1.11) íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ â ôîðìå Ãà-
ìèëüòîíà (ñèñòåìîé êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà), ïîëó÷åííîé
èì â 1834 ãîäó. Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà èãðàþò èñêëþ÷èòåëüíî âàæíóþ
                                                                r r
ðîëü â àíàëèòè÷åñêîé ìåõàíèêå. Îíè èìåþò ôîðìó                 p& = X , íî îòëè÷à-
þòñÿ òåì, ÷òî 2n âõîäÿùèõ â íèõ ïåðåìåííûõ ñãðóïïèðîâàíû â                    n ïàð
(qr , pr ) , à ïðàâûå ÷àñòè èìåþò ôîðìó, óêàçàííóþ â óðàâíåíèÿõ (5.1.11).
     Çàìåòèì, ÷òî äâå ãðóïïû óðàâíåíèé (5.1.11) íåîäèíàêîâû ïî ñâîå-
ìó ñîäåðæàíèþ. Ïåðâûå n óðàâíåíèé
               ∂H
      q& r =                                                               (5.1.12)
               ∂pr
ïîëó÷åíû íà îñíîâå îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè H è ñîâåðøåííî íå ñâÿçàíû
ñ çàêîíàìè äèíàìèêè. Îíè ýêâèâàëåíòíû n óðàâíåíèÿì, îïðåäåëÿþ-
ùèì ïåðåìåííûå           pr :
               ∂H
      pr =
               ∂q& r .                                                     (5.1.13)

      Ìû âèäèì, ÷òî óðàâíåíèÿ (5.1.12) îïðåäåëÿþò                  q& r êàê ëèíåéíûå
ôóíêöèè îò       pr , à óðàâíåíèÿ (5.1.13) îïðåäåëÿþò pr êàê ëèíåéíûå ôóí-
êöèè îò   q& r . Åñëè ðàçðåøèòü óðàâíåíèÿ (5.1.12) îòíîñèòåëüíî pr , òî
ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèÿ (5.1.13), à, ðàçðåøàÿ ïîñëåäíèå îòíîñèòåëüíî                q&r ,
ïðèä¸ì âíîâü ê óðàâíåíèÿì (5.1.12).
     Äèíàìè÷åñêèå çàêîíîìåðíîñòè íàõîäÿò ñâî¸ îòðàæåíèå ëèøü âî
âòîðîé ãðóïïå óðàâíåíèé (5.1.11):
                 ∂H
      p& r = −
                 ∂qr .                                                     (5.1.14)

      Ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà ìîæíî ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ äâè-