Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

127
Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà
æåíèÿ, ïîñêîëüêó îíà çàêëþ÷àåò â ñåáå ïîëíîå âîçìîæíîå äâèæåíèå
ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà (5.1.11) áûëè âûâåäåíû íàìè äëÿ ãîëîíîì-
íîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû òðåòüåé ãëà-
âû, ïîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû è äëÿ
íåãîëîíîìíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
1. Åñëè ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íå ÿâëÿåòñÿ ãîëîíîìíîé, òî,
ïîëüçóÿñü îáîçíà÷åíèÿìè ïðèìåíÿåìûìè â òðåòüåé ãëàâå, ìû ìîæåì
íàïèñàòü:
r
r
p
H
q
∂
∂
=
&
,
∑
=
+
∂
∂
−=
k
m
mm
r
r
B
q
H
p
1
λ
&
,
()
nr,...,2,1
=
. (5.1.15)
Ê ýòèì óðàâíåíèÿì íåîáõîäèìî ïðèñîåäèíèòü
k
óðàâíåíèé ñâÿçè
òèïà (3.2.4)
0
1
=+
∑
=
n
i
riri
BqB
&
,
()
kr,...,2,1
=
. (5.1.16)
2. Ïóñòü òåïåðü ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ãîëîíîìíà è èìååò
n
ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìåþòñÿ åù¸ äðóãèå (íå ñâÿçàí-
íûå ñ íàëè÷èåì ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè) çàäàííûå ñèëû, îïðåäåë¸ííûå
íàìè ðàíåå ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (3.3.7). Àíàëîãîì óðàâíåíèé (3.3.9)
áóäóò óðàâíåíèÿ
r
r
p
H
q
∂
∂
=
&
,
r
r
r
Q
q
H
p
+
∂
∂
−=
&
,
()
nr,...,2,1
=
. (5.1.17)
Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèè
r
Q
çàâèñÿò òîëüêî îò
r
q
è íå
çàâèñÿò îò
r
q
&
. ( îáùåì ñëó÷àå, êîãäà
r
Q
çàâèñÿò òàêæå îò
r
q
&
, óðàâíå-
íèÿ (5.1.17) íå èìåþò ôîðìû
Xp
r
&
r
=
, íî èõ ìîæíî ïðèâåñòè ê ýòîé ôîð-
ìå, åñëè êàæäàÿ ôóíêöèÿ
r
Q
åñòü ëèíåéíàÿ ôîðìà îò
r
q
&
ñ êîýôôèöèåí-
òàìè, çàâèñÿùèìè òîëüêî îò
r
q
).
3. Ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ãîëîíîìíà, èìååò
n
ñòåïåíåé ñâî-
áîäû è èìåþòñÿ ñèëû òðåíèÿ. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëü-
íûõ òî÷åê çàïèøóòñÿ â ñëåäóþùåé ôîðìå:
Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà                                                    127

æåíèÿ, ïîñêîëüêó îíà çàêëþ÷àåò â ñåáå ïîëíîå âîçìîæíîå äâèæåíèå
ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
     Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà (5.1.11) áûëè âûâåäåíû íàìè äëÿ ãîëîíîì-
íîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû òðåòüåé ãëà-
âû, ïîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû è äëÿ
íåãîëîíîìíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
     1. Åñëè ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íå ÿâëÿåòñÿ ãîëîíîìíîé, òî,
ïîëüçóÿñü îáîçíà÷åíèÿìè ïðèìåíÿåìûìè â òðåòüåé ãëàâå, ìû ìîæåì
íàïèñàòü:
               ∂H                     ∂H   k
      q& r =               p& r = −      + ∑ λm Bm ,       (r = 1,2,..., n ) .
               ∂pr ,                  ∂qr m =1                                   (5.1.15)

     Ê ýòèì óðàâíåíèÿì íåîáõîäèìî ïðèñîåäèíèòü k óðàâíåíèé ñâÿçè
òèïà (3.2.4)
       n

      ∑ B q&
      i =1
               ri i   + Br = 0 , (r = 1,2,..., k ) .                             (5.1.16)

     2. Ïóñòü òåïåðü ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ãîëîíîìíà è èìååò
n ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èìåþòñÿ åù¸ äðóãèå (íå ñâÿçàí-
íûå ñ íàëè÷èåì ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè) çàäàííûå ñèëû, îïðåäåë¸ííûå
íàìè ðàíåå ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (3.3.7). Àíàëîãîì óðàâíåíèé (3.3.9)
áóäóò óðàâíåíèÿ
               ∂H           ∂H
      q& r =         &r = −
                   , p          + Qr ,            (r = 1,2,..., n ) .            (5.1.17)
               ∂pr          ∂qr
     Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèè                  Qr çàâèñÿò òîëüêî îò qr è íå
çàâèñÿò îò  q& r . ( îáùåì ñëó÷àå, êîãäà Qr çàâèñÿò òàêæå îò q&r , óðàâíå-
                                r& r
íèÿ (5.1.17) íå èìåþò ôîðìû p     = X , íî èõ ìîæíî ïðèâåñòè ê ýòîé ôîð-
ìå, åñëè êàæäàÿ ôóíêöèÿ               Qr åñòü ëèíåéíàÿ ôîðìà îò q& r ñ êîýôôèöèåí-
òàìè, çàâèñÿùèìè òîëüêî îò                qr ).
     3. Ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ãîëîíîìíà, èìååò n ñòåïåíåé ñâî-
áîäû è èìåþòñÿ ñèëû òðåíèÿ. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëü-
íûõ òî÷åê çàïèøóòñÿ â ñëåäóþùåé ôîðìå:

Страницы