Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 129 стр.

Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà                                129


      §5.2. Óðàâíåíèå ýíåðãèè è ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ
            ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà

    Äëÿ ãîëîíîìíîé êîíñåðâàòèâíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê
ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà â ñàìîì îáùåì ñëó÷àå åñòü
     H = H (q, p, t ) ,                                     (5.1.5)
õîòÿ â áîëüøåé ÷àñòè êîíêðåòíûõ çàäà÷ âðåìÿ t îòñóòñòâóåò. Âîçüì¸ì
ïîëíóþ ïðîèçâîäíóþ îò ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà ïî âðåìåíè

     dH ∂H      n
                   ∂H           n
                                   ∂H
         =   +∑        q& r + ∑        p& r .               (5.2.1)
      dt   ∂t r =1 ∂qr        r =1 ∂pr

     Â ñèëó óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà ïîñëåäíèå äâà ñëàãàåìûõ âçàèìíî
óíè÷òîæàþòñÿ, è ìû îêîí÷àòåëüíî ñìîæåì çàïèñàòü
     dH ∂H
         =    .                                             (5.2.2)
      dt   ∂t
     Òàêèì îáðàçîì, åñëè H íå çàâèñèò ÿâíî îò âðåìåíè t , òî ýòà ôóí-
êöèÿ ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå âî âñ¸ âðåìÿ äâèæåíèÿ:
      H = h.                                                  (5.2.3)
     Ýòîò ðåçóëüòàò åñòü íå ÷òî èíîå, êàê èíòåãðàë ßêîáè. Ïîëó÷èì
ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà. Âñïîìíèì, ÷òî äëÿ íàòó-
ðàëüíîé ñèñòåìû

            1 n n
     T2 =     ∑∑ ari q&r q&i
            2 r = 1 i =1
                                                            (3.1.7)

è
      n

     ∑ p q& r r   − L = 2T − (T − V ) = T + V ,             (5.2.4)
     r =1

òàê ÷òî  H ñîâïàäàåò ñ ïîëíîé ýíåðãèåé T + V , ïðè÷¸ì T âûðàæåíî
÷åðåç pr âìåñòî q& r . Ïîëîæèì â (3.1.7)