Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 128 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

128
Ãëàâà ïÿòàÿ
r
r
p
H
q
∂
∂
=
&
,
rr
r
q
F
q
H
p
&
&
∂
∂
−
∂
∂
−=
,
()
nr,...,2,1
=
. (5.1.18)
Òàê êàê
F
åñòü îäíîðîäíàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà îò
r
q
& , ýòè óðàâ-
íåíèÿ ìîãóò áûòü ïðèâåäåíû ê âèäó
Xp
r
&
r
=
.
4. Îáîáùèì âàðèàíòû 2 è 3 íà ñëó÷àé íåãîëîíîìíîé ñèñòåìû ìà-
òåðèàëüíûõ òî÷åê. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ê ïðàâûì ÷àñòÿì óðàâíåíèé
äëÿ
r
p
& äîáàâèòü ñëàãàåìûå
∑
=
k
m
mrm
B
1
λ
è ïðèñîåäèíèòü ê ïîëó÷åííûì
óðàâíåíèÿì
k
óðàâíåíèé ñâÿçè (5.1.16):
r
r
p
H
q
∂
∂
=
&
,
∑
=
++
∂
∂
−=
k
m
mrmr
r
r
BQ
q
H
p
1
λ
&
, (5.1.19)
r
r
p
H
q
∂
∂
=
&
,
∑
=
+
∂
∂
−
∂
∂
−=
k
v
mrm
rr
r
B
q
F
q
H
p
1
λ
&
&
, (5.1.20)
0
1
=+
∑
=
n
i
riri
BqB
&
,
()
kr,...,2,1
=
. (5.1.16)
Ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà
H
áûëà íàìè ïîëó÷åíà èç ôóíêöèè Ëàã-
ðàíæà
L
. Íåòðóäíî ðåøèòü è îáðàòíóþ çàäà÷ó  íàéòè ôóíêöèþ Ëàã-
ðàíæà
L
, çíàÿ ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà
H
. Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà â ñîîò-
âåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì (5.1.3) åñòü
∑
=
−=
n
r
rr
HqpL
1
&
.
Ñ ïîìîùüþ çàìåíû
r
r
p
H
q
∂
∂
=
&
ïîëó÷èì
∑
=
−
∂
∂
=
n
r
r
r
H
p
H
pL
1
. (5.1.21)
128                                                                            Ãëàâà ïÿòàÿ

                ∂H           ∂H ∂F
      q& r =          &r = −
                    , p         −                        (r = 1,2,..., n ) .
                ∂pr          ∂qr ∂q& r ,                                          (5.1.18)

      Òàê êàêF åñòü îäíîðîäíàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà îò q&r , ýòè óðàâ-
                                  r& r
íåíèÿ ìîãóò áûòü ïðèâåäåíû ê âèäó p =X.
     4. Îáîáùèì âàðèàíòû 2 è 3 íà ñëó÷àé íåãîëîíîìíîé ñèñòåìû ìà-
òåðèàëüíûõ òî÷åê. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ê ïðàâûì ÷àñòÿì óðàâíåíèé
                                            k
äëÿ   p& r äîáàâèòü ñëàãàåìûå          ∑λ
                                       m =1
                                                  m   Bmr è ïðèñîåäèíèòü ê ïîëó÷åííûì

óðàâíåíèÿì k óðàâíåíèé ñâÿçè (5.1.16):

                ∂H          ∂H          k
      q& r =          &
                      p
                ∂pr , r
                        = −
                            ∂qr
                                + Qr + ∑ λm Bmr ,
                                       m =1
                                                                                  (5.1.19)


                ∂H          ∂H ∂F      k
      q& r =          &
                      p
                ∂pr , r
                        = −    −    + ∑ λm Bmr ,
                            ∂qr ∂q&r v =1                                         (5.1.20)

        n

      ∑ B q&
       i =1
               ri i   + Br = 0 , (r = 1,2,..., k ) .                              (5.1.16)

    Ôóíêöèÿ Ãàìèëüòîíà H áûëà íàìè ïîëó÷åíà èç ôóíêöèè Ëàã-
ðàíæà L . Íåòðóäíî ðåøèòü è îáðàòíóþ çàäà÷ó – íàéòè ôóíêöèþ Ëàã-
ðàíæà L , çíàÿ ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà H . Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà â ñîîò-
                                                          n
âåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì (5.1.3) åñòü                L = ∑ pr q&r − H .
                                                         r =1

                                                ∂H
      Ñ ïîìîùüþ çàìåíû             q& r =           ïîëó÷èì
                                                ∂pr
                n
                        ∂H
      L = ∑ pr              −H.                                                   (5.1.21)
               r =1     ∂pr

Страницы