Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

125
Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà
∑
=
∂
∂
−=
n
r
r
r
rr
q
q
L
pq
1
δδ
&
, (5.1.6)
òàê êàê
r
r
rr
q
q
L
qp
&
&
&
δδ
∂
∂
=
.
Åñëè ïðîäåëàòü òîæå ñàìîå äëÿ (5.1.4), ïîëó÷èì
∑
=
∂
∂
+
∂
∂
=
n
r
r
r
r
r
p
p
H
q
q
H
H
1
δδδ
. (5.1.7)
Ñðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ (5.1.6) è (5.1.7), èìååì
∑∑
==
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
−
n
r
r
r
r
r
n
r
r
r
rr
p
p
H
q
q
H
q
q
L
pq
11
δδδδ
&
,
èëè
0
11
=
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
−
∑∑
==
r
n
r
r
rr
r
n
r
r
r
q
q
H
q
L
p
p
H
q
δδ
&
.
Òàê êàê âàðèàöèè
r
q
δ
è
r
p
δ
íåçàâèñèìû, ìû ìîæåì íàïèñàòü, ÷òî
0=
∂
∂
−
r
r
p
H
q
&
,
0=
∂
∂
+
∂
∂
rr
q
H
q
L
,
()
nr,...,2,1
=
, (5.1.8)
èëè
r
r
p
H
q
∂
∂
=
&
,
rr
q
H
q
L
∂
∂
−=
∂
∂
,
()
nr,...,2,1
=
. (5.1.9)
Ïåðåõîäÿ ê óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ, íà îñíîâàíèè (3.4.5)
rr
rr
q
L
q
L
dt
d
p
dt
d
p
∂
∂
=
∂
∂
==
&
&
,
()
nr,...,2,1
=
, (5.1.10)
âèäèì, ñ ó÷¸òîì (5.1.9), ÷òî îíè ýêâèâàëåíòíû ñèñòåìå
n2
óðàâíåíèé
Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà                                                         125

          n
                      ∂L       
      = ∑  q& rδpr −     δqr  ,                                                  (5.1.6)
        r =1          ∂qr      
                         ∂L
òàê êàê      prδq& r =         δq& r .
                         ∂q& r
      Åñëè ïðîäåëàòü òîæå ñàìîå äëÿ (5.1.4), ïîëó÷èì
             n
                 ∂H         ∂H       
      δH = ∑        δ qr +     δpr  .                                            (5.1.7)
           r =1  ∂qr        ∂pr      
      Ñðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ (5.1.6) è (5.1.7), èìååì
       n
                            ∂L        n  ∂H            ∂H       
      ∑  q& δp         −
                             ∂qr
                                 δqr  = ∑      δ qr +     δpr  ,
                                       r =1  ∂qr        ∂pr
                 r   r
      r =1                                                        
èëè
       n
                ∂H          n
                                  ∂L ∂H 
      ∑     r ∂p  r ∑  ∂q + ∂q δqr = 0 .
           
      r =1 
             &
             q −     δ p −
                   r       r =1    r  r r

      Òàê êàê âàðèàöèè δqr è δpr íåçàâèñèìû, ìû ìîæåì íàïèñàòü, ÷òî

                 ∂H                      ∂L ∂H
      q& r −         =0,                    +    =0        ,   (r = 1,2,..., n ) ,   (5.1.8)
                 ∂pr                     ∂qr ∂qr
èëè
                 ∂H           ∂L     ∂H
      q& r =                      =−           (r = 1,2,..., n ) .
                 ∂pr ,        ∂qr    ∂qr ,                                           (5.1.9)

      Ïåðåõîäÿ ê óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ, íà îñíîâàíèè (3.4.5)

                 d      d  ∂L  ∂L
      p& r =        pr =         =
                 dt     dt  ∂q&r  ∂qr , (r = 1,2,..., n ) ,                       (5.1.10)

âèäèì, ñ ó÷¸òîì (5.1.9), ÷òî îíè ýêâèâàëåíòíû ñèñòåìå 2n óðàâíåíèé

Страницы