Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

136
Ãëàâà ïÿòàÿ
Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî.
Ðåøåíèå çàäà÷è.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü äâèæåíèå
ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ëàáîðàòîðíîé
ÈÑÎ. Ðåøèì çàäà÷ó â òð¸õ ñèñòåìàõ
êîîðäèíàò: äåêàðòîâîé, öèëèíäðè÷åñêîé è ñôåðè÷åñêîé.
1. Äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò.
Ñîñòàâèì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà
VTL −=
, ãäå
()
222
2
zyx
m
T
&
&&
++=
.
Òàêèì îáðàçîì
()
()
zyxVzyx
m
L ,,
2
222
−++=
&
&&
. (5.4.12)
Ñîñòàâèì ïðîèçâîäíûå îò ôóíêöèè Ëàãðàíæà ïî ïðîåêöèÿì ñêî-
ðîñòåé
x
pxm
x
V
xm
x
L
==
∂
∂
−=
∂
∂
&
&
&
&
,
m
p
x
x
=
&
.
y
pym
y
V
ym
y
L
==
∂
∂
−=
∂
∂
&
&
&
&
,
m
p
y
y
=
&
.
z
pzm
z
V
zm
z
L
==
∂
∂
−=
∂
∂
&
&
&
&
,
m
p
z
z
=
&
.
Ñîñòàâèì ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà â âèäå
LzpypxpH
zyx
−++=
&
&&
, (5.4.13)
èëè
()()
()
zyxVppp
m
ppp
m
H
zyxzyx
,,
2
11
222222
+++−++=
,
îòêóäà
Íàéòè
()
tpqHH ,,
=
Äàíî
m
,
()
zyxV,,
.
136                                                                   Ãëàâà ïÿòàÿ
      Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî.

Íàéòè           H = H (q, p, t )                 Ðåøåíèå çàäà÷è.
Äàíî            m,
                                   Áóäåì ðàññìàòðèâàòü äâèæåíèå
                V (x, y , z ).ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ëàáîðàòîðíîé
                              ÈÑÎ. Ðåøèì çàäà÷ó â òð¸õ ñèñòåìàõ
êîîðäèíàò: äåêàðòîâîé, öèëèíäðè÷åñêîé è ñôåðè÷åñêîé.

      1. Äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò.
      Ñîñòàâèì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà L = T                 − V , ãäå

       T=     (
            m 2
            2
               x& + y& 2 + z& 2 ) .
      Òàêèì îáðàçîì

       L=
            2
              (
            m 2
               x& + y& 2 + z& 2 ) − V (x, y , z ) .                        (5.4.12)

     Ñîñòàâèì ïðîèçâîäíûå îò ôóíêöèè Ëàãðàíæà ïî ïðîåêöèÿì ñêî-
ðîñòåé
       ∂L          ∂V                                         px
           = mx& −     = mx& = p x ,                   x& =      .
       ∂x&         ∂x&                                        m
       ∂L          ∂V                                         py
           = my& −     = my& = p y ,                   y& =      .
       ∂y&         ∂y&                                        m
       ∂L          ∂V                                         pz
           = mz& −     = mz& = p z ,                   z& =      .
       ∂z&         ∂z&                                        m
      Ñîñòàâèì ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà â âèäå
       H = p x x& + p y y& + p z z& − L ,                                  (5.4.13)
èëè

       H=
             m
               (
             1 2
                 p x + p 2y + p z2 ) −
                                        1
                                       2m
                                          (px2 + p 2y + pz2 )+ V (x, y, z ),
îòêóäà

Страницы