Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 135 стр.

Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà                                135

       Åñëè v = 0 , òî

                  1 2 2
       H=           ml ϕ& − mgl cosϕ = T + V = h ,          (5.4.8)
                  2
òî åñòü H ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì ýíåðãèè, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå ñâÿçè
áóäóò ñòàöèîíàðíûìè è L íå çàâèñèò ÿâíî îò âðåìåíè.
     Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå (5.4.6) â ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà (5.4.7), â ðå-
çóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì
                                             2
          1      p  v       v 
       H = ml 2  2 − cos ϕ − t  − v 2 − mgl cosϕ . (5.4.9)
          2      ml l       r 
    Äëÿ íàõîæäåíèÿ êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà ñîñòàâèì
ïðîèçâîäíûå

        ∂H        p  v      v          v 
           = mlv  2 − cosϕ − t  sin ϕ − t  + mgl sin ϕ ,
        ∂ϕ        ml l      r          r 

        ∂H   p  v       v 
           = 2 − cos ϕ − t  .
        ∂p ml   l       r 
       Ñ ó÷¸òîì (5.1.11) íàïèøåì êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà

            p  v       v          v 
p& = − mlv  2 − cos ϕ − t  sin ϕ − t  − mgl sin ϕ ,   (5.4.10)
            ml l       r          r 

               p    v      v 
       ϕ& =        − cosϕ − t  .                          (5.4.11)
                           r 
                 2
              ml    l


       Çàäà÷à 25.

    Ñîñòàâèòü ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà è êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãà-
ìèëüòîíà äëÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ìàññû m â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå
V (x, y , z ) .