Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 137 стр.

Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà                                    137


        H=
              1
             2m
                ( p x2 + p 2y + pz2 ) + V (x, y , z ) .          (5.4.14)

       Ñîñòàâèì êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà

        ∂H p x                     ∂H p y        ∂H pz
            =  = x&            ,       =  = y& ,     =  = z& .   (5.4.15)
        ∂p x m                     ∂p y m        ∂p z m
       Ìû ïîëó÷èëè ïåðâûå òðè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ.

        ∂H ∂V              ∂H ∂V              ∂H ∂V
           =    = − p& x ,    =    = − p& y ,    =    = − p& z . (5.4.16)
        ∂x   ∂x            ∂y   ∂y            ∂z   ∂z
     Ýòî âòîðûå òðè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé âòî-
ðîé çàêîí Íüþòîíà
        d
           (mvr ) = −∇V (x, y, z ), èëè mwr = Fr ,
        dt
ãäå   ∇V (x, y, z ) = − F .

     2. Öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû.
     Âûðàçèì äåêàðòîâû êîîðäèíàòû ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ÷åðåç öèëèí-
äðè÷åñêèå êîîðäèíàòû
       x = r cosθ , y = r sinθ , z = z .                         (5.4.17)
       Äèôôåðåíöèðóÿ (5.4.17) ïî âðåìåíè, ïîëó÷èì

       x& = r& cosθ − r sin θθ& , y& = r& sin θ + r cosθθ& , z& = z& .
       Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ x& , y& , z& â âûðàæåíèå äëÿ êèíå-
òè÷åñêîé ýíåðãèè, ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ, ïîëó÷èì

       T=
             m 2
             2
                (
               r& + r 2θ& 2 + z& 2 .)                            (5.4.18)

       Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ïðèìåò âèä

        L=     (
             m 2
             2
                                    )
               r& + r 2θ& 2 + z& 2 − V (r,θ , z ) .              (5.4.19)

       Ñîñòàâèì ïðîèçâîäíûå îò ôóíêöèè Ëàãðàíæà