Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 139 стр.

Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà                                      139

     Äèôôåðåíöèðóÿ (5.4.21) ïî âðåìåíè, ïîëó÷èì

     x& = r& sin θ cosϕ + r cosθ cosϕθ& − r sin θ sin ϕϕ& 
                                                            
      y& = r& sin θ sin ϕ + r cosθ sin ϕθ& + r sin θ cosϕϕ& 
                                                              .    (5.4.22)
                                                            
     z& = r& cosθ − r sin θθ&                               
     Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ â âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé
ýíåðãèè, è ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ, ïîëó÷èì

     T=
            1
            2
                (                              )
              m r& 2 + r 2θ& 2 + r 2 sin 2 θϕ& 2 .                 (5.4.23)

      (Âûðàæåíèå (5.4.23) îòëè÷àåòñÿ îò âûðàæåíèÿ (3.7.33) ïîëó÷åííî-
ãî â çàäà÷å ¹22, ýòî îáúÿñíÿåòñÿ ðàçëè÷íûì ñïîñîáîì âûáîðà êîîðäè-
íàòíûõ îñåé. Ñì. ðèñóíêè, èëëþñòðèðóþùèå óêàçàííûå çàäà÷è).
      Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà ïðèìåò âèä

     L=
            1
            2
                (                              )
              m r& 2 + r 2θ& 2 + r 2 sin 2 θϕ& 2 − V (r,θ ,ϕ ) .   (5.4.24)

     Ñîñòàâèì ïðîèçâîäíûå îò ôóíêöèè Ëàãðàíæà
     ∂L              ∂L                 ∂L
         = mr& = pr , & = mr 2θ& = pθ ,     = mr 2 sin 2 θϕ& . (5.4.25)
     ∂r&             ∂θ                 ∂ϕ&
     Ðàçðåøàÿ ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî îáîáù¸ííûõ ñêî-
ðîñòåé, ïîëó÷èì

            pr & pθ                pϕ
     r& =     , θ =    2 , ϕ =
                           &              .                        (5.4.26)
            m       mr         mr sin 2 θ
                                 2

     Ñîñòàâèì ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà (ó÷èòûâàÿ (5.4.26)):
     H = ∑ pi q&i − L =

1 2 1 2            1       2    1  2 1 2           1    2
  pr + 2 pθ + 2 2 pϕ  −             pr + 2 pθ + 2 2 pϕ  +
m     r        r sin θ       2m         r       r sin θ  
                          1  2 1 2                  2
         + V (r,θ ,ϕ ) =     pr + 2 pθ + 2 2 pϕ  + V (r ,θ ,ϕ )
                                               1
                         2m       r       r sin θ     