Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 141 стр.

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ПсковГУ | Псков

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141
Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà
Î÷åâèäíî, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ çàäàííîé ñèñòåìû ìàòåðèàëü-
íûõ òî÷åê áóäåò ñîñòîÿòü èç êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ
è êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
Ïóñòü öåíòð ìàññ èìååò êîîðäèíàòû
ccc
zyx
,, , à
1
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2
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ñêîðîñòè
ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê
1
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â ñèñòåìå êîîðäèíàò
xyz
O
.
Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê áóäåò
2211
2
1
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1
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. (5.4.28)
Èç ÷åðòåæà ñëåäóåò, ÷òî
12
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rrr
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.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî äàííàÿ ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê çàìêíóòà, ìû
ìîæåì äëÿ íå¸ íà îñíîâàíèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà íàïèñàòü
2211
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+= , (5.4.29)
ãäå
21
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ïîëíàÿ ìàññà ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
Ïóñòü îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü
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. (5.4.30)
Âûðàçèì èç (5.4.30)
1212
vvv
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è ïîäñòàâèì â (5.4.29), ïîëó÷èì
()
212121
vmvmmvM
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. (5.4.31)
Ðåøàÿ óðàâíåíèÿ (5.4.29) è (5.4.31) îòíîñèòåëüíî
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M
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vv
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. (5.4.32)
Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ ñêîðîñòåé
1
v
r
è
2
v
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, â óðàâíåíèå
äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè (5.4.28). Ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ
ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì
2
21
2
2
1
2
1
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c
µ
+=
, (5.4.33)
Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà                                            141

     Î÷åâèäíî, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ çàäàííîé ñèñòåìû ìàòåðèàëü-
íûõ òî÷åê áóäåò ñîñòîÿòü èç êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ
è êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
                                                                  r r
       Ïóñòü öåíòð ìàññ èìååò êîîðäèíàòû         xc , yc , zc , à v1 è v2 ñêîðîñòè
ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê     m1 è m2 â ñèñòåìå êîîðäèíàò Oxyz .
       Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê áóäåò
            1 r 1 r
       T=     m1v1 + m2 v2 .                                            (5.4.28)
            2       2
                                 r r r
       Èç ÷åðòåæà ñëåäóåò, ÷òî   r = r2 − r1 .
    Ó÷èòûâàÿ, ÷òî äàííàÿ ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê çàìêíóòà, ìû
ìîæåì äëÿ íå¸ íà îñíîâàíèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà íàïèñàòü
        r      r       r
       Mvc = m1v1 + m2 v2 ,                                             (5.4.29)

ãäå   M = m1 + m2 ïîëíàÿ ìàññà ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
       Ïóñòü îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü      m2 ê m1 åñòü
                        r
       r     r r dr
       v21 = v2 − v1 =    .                                             (5.4.30)
                       dt
                           r r         r
       Âûðàçèì èç (5.4.30)v2 = v21 + v1 è ïîäñòàâèì â (5.4.29), ïîëó÷èì
         r             r        r
       Mvc = (m1 + m2 )v1 + m2 v21 .                              (5.4.31)
                                                        r r
       Ðåøàÿ óðàâíåíèÿ (5.4.29) è (5.4.31) îòíîñèòåëüíî v1 è v2 , ïîëó÷èì

       r r m r           r r m r
       v1 = vc − 2 v21 , v2 = vc + 1 v21 .                              (5.4.32)
                M                 M
                                                         r r
       Ïîäñòàâèì ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ ñêîðîñòåé           v1 è v2 , â óðàâíåíèå
äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè (5.4.28). Ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ
ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì
            1       1 2
       T=     Mvc2 + µv21 ,                                             (5.4.33)
            2       2

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