Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 133 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

133
Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà
ñîäåðæàòü
()
knm
−=
22
ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ
m
c
,
m
c
′
, à òàêæå ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ
i
c
, òî åñòü
()
()
′
=
′
=
immmm
immmm
ccctqq
ccctpp
,,,
,,,
,
()
nkkm,...,2,1
++=
. (5.3.5)
Ïîäñòàâèâ ýòè ðåøåíèÿ â (5.3.3) è ó÷èòûâàÿ (5.3.2) ïîëó÷èì:
∫
′
+
∂
∂
=
i
i
i
cdt
c
H
q
,
()
ki,...,2,1
=
, (5.3.6)
ãäå
i
c
′
- ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè íàëè÷èè
k
öèêëè÷åñêèõ êîîðäèíàò ðåøåíèå
çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû óðàâíåíèé (5.3.4), ïîðÿäîê êîòî-
ðîé óìåíüøåí ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâîíà÷àëüíîé íà
k2
.
Ðåøèì íåñêîëüêî çàäà÷ ñ ïðèìåíåíèåì ïîëó÷åííûõ âûøå ñâåäåíèé.
§5.4. Çàäà÷è íà ñîñòàâëåíèå ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà è
êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà
Çàäà÷à 24.
Òî÷êà ïîäâåñà ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿò-
íèêà äëèíû
l
ñîâåðøàåò äâèæåíèå â âåðòè-
êàëüíîé ïëîñêîñòè ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñà
r
ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ
v
. Ñîñòàâèòü
ôóíêöèþ è êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëü-
òîíà.
Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî.
Ðåøåíèå çàäà÷è.
Ñâÿæåì ÈÑÎ ñ
ëàáîðàòîðèåé, ïîìåñòèâ íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäè-
íàò â öåíòð îêðóæíîñòè. Ñäåëàåì ÷åðò¸æ.
Íàéòè
H
Äàíî
l
,
r
,
v
.
r
l
v
mg
A
y
x
ϕ
O
t
v
r
Ðèñ. 16.
Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà                                                          133

ñîäåðæàòü     2m = 2(n − k ) ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ
cm , cm′ , à òàêæå ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ ci , òî åñòü

       pm = pm (t , cm , cm′ , ci )
       qm = qm (t , cm , cm′ , ci )  , (m = k + 1, k + 2,..., n ) .
                                                                                (5.3.5)

       Ïîäñòàâèâ ýòè ðåøåíèÿ â (5.3.3) è ó÷èòûâàÿ (5.3.2) ïîëó÷èì:
                ∂H
       qi = ∫       dt + ci′ , (i = 1,2,..., k ) ,                               (5.3.6)
                ∂ci
ãäå   ci′ - ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ.
     Òàêèì îáðàçîì, ïðè íàëè÷èè k öèêëè÷åñêèõ êîîðäèíàò ðåøåíèå
çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû óðàâíåíèé (5.3.4), ïîðÿäîê êîòî-
ðîé óìåíüøåí ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâîíà÷àëüíîé íà 2k .
     Ðåøèì íåñêîëüêî çàäà÷ ñ ïðèìåíåíèåì ïîëó÷åííûõ âûøå ñâåäåíèé.

        §5.4. Çàäà÷è íà ñîñòàâëåíèå ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà è
              êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà

       Çàäà÷à 24.

      Òî÷êà ïîäâåñà ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿò-
íèêà äëèíû l ñîâåðøàåò äâèæåíèå â âåðòè-
êàëüíîé ïëîñêîñòè ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñà                            O
r ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v . Ñîñòàâèòü                                      r v        y
ôóíêöèþ è êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëü-                               vt
                                                                       r
òîíà.                                                                             l
      Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî.                                         ϕ
                                                                                      A
                                                                   x                  mg
 Íàéòè                            Ðåøåíèå çàäà÷è.
                  H                                                    Ðèñ. 16.
 Äàíî             l,            Ñâÿæåì ÈÑÎ ñ
                  r,       ëàáîðàòîðèåé, ïîìåñòèâ íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäè-
                  v.       íàò â öåíòð îêðóæíîñòè. Ñäåëàåì ÷åðò¸æ.

Страницы