Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

134
Ãëàâà ïÿòàÿ
 êà÷åñòâå îáîáù¸ííîé êîîðäèíàòû
q
ïðèìåì óãîë îòêëîíåíèÿ
ìàÿòíèêà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ
ϕ
. Ïîëüçóÿñü ÷åðòåæîì, íàïèøåì
äëÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè À
ϕ
coscos lt
r
v
rx +=
,
ϕ
sinsin lt
r
v
ry +=
. (5.4.1)
Âîçüì¸ì ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè îò (5.4.1)
ϕϕ
&
&
⋅−−= sinsin lt
r
v
vx
,
ϕϕ
&
&
⋅+= coscos lt
r
v
vy
. (5.4.2)
Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè
()
+
−+=+=
22222
cos2
2
1
2
1
vt
r
v
vllmyxmT
ϕϕϕ
&&
&&
. (5.4.3)
Òàê êàê ïðè íàõîæäåíèè îáîáù¸ííûõ ñèë ñâÿçè ñ÷èòàþòñÿ ìãíî-
âåííî îñòàíîâëåííûìè (ñìîòðè §1.7.), äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ìà-
ÿòíèêà ìû ìîæåì çàïèñàòü
ϕ
cosmglV −=
. (5.4.4)
Ñîñòàâèì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà
ϕϕϕϕ
coscos2
2
1
222
mglvt
r
v
vllmVTL +
+
−+=−=
&&
,
îòêóäà
−+=
∂
∂
= t
r
v
mvlml
L
p
ϕϕ
ϕ
cos
2
&
&
, (5.4.5)
à
−−= t
r
v
l
v
ml
p
ϕϕ
cos
2
&
. (5.4.6)
Ñîñòàâèì ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà
ϕϕϕ
ϕ
cos
2
1
222
mglvmlL
L
H −−=−
∂
∂
=
&&
&
. (5.4.7)
134                                                                   Ãëàâà ïÿòàÿ
       êà÷åñòâå îáîáù¸ííîé êîîðäèíàòû           q ïðèìåì óãîë îòêëîíåíèÿ
ìàÿòíèêà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ         ϕ . Ïîëüçóÿñü ÷åðòåæîì, íàïèøåì
äëÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè À
               v                      v
      x = r cos t + l cosϕ , y = r sin t + l sin ϕ .                     (5.4.1)
               r                      r
      Âîçüì¸ì ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè îò (5.4.1)
                 v                             v
      x& = −v sin t − l sin ϕ ⋅ ϕ& , y& = v cos t + l cosϕ ⋅ ϕ& .        (5.4.2)
                 r                             r
      Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè

                         1                                     
        m(x& 2 + y& 2 ) = m l 2ϕ& 2 + 2vlϕ& cos ϕ − t  + v 2  .
      1                                             v 
T=                                                                       (5.4.3)
      2                  2                         r         
     Òàê êàê ïðè íàõîæäåíèè îáîáù¸ííûõ ñèë ñâÿçè ñ÷èòàþòñÿ ìãíî-
âåííî îñòàíîâëåííûìè (ñìîòðè §1.7.), äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ìà-
ÿòíèêà ìû ìîæåì çàïèñàòü
      V = −mgl cosϕ .                                                    (5.4.4)
      Ñîñòàâèì ôóíêöèþ Ëàãðàíæà

                     1 2 2                  v         
      L = T −V =      m l ϕ& + 2vlϕ& cos ϕ − t  + v 2  + mgl cosϕ ,
                     2                      r         
îòêóäà
             ∂L                        v 
       p=        = ml 2ϕ& + mvl cos ϕ − t  ,                           (5.4.5)
             ∂ϕ&                       r 
à
              p    v      v 
      ϕ& =        − cosϕ − t  .                                        (5.4.6)
                          r 
                2
             ml    l
      Ñîñòàâèì ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà
             ∂L          1
      H=         ϕ& − L = ml 2ϕ& 2 − v 2 − mgl cosϕ .                    (5.4.7)
             ∂ϕ&         2

Страницы