Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 14 стр.

14                                                                                    Ãëàâà ïåðâàÿ
            §1.3. Ñâÿçè è èõ êëàññèôèêàöèÿ

     Îãðàíè÷åíèÿ (óñëîâèÿ), êîòîðûå íå ïîçâîëÿþò ñèñòåìå ìàòåðèàëü-
íûõ òî÷åê çàíèìàòü ïðîèçâîëüíûå ïîëîæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå è èìåòü
ïðîèçâîëüíûå ñêîðîñòè íàçûâàþò ñâÿçÿìè.
     Ñâÿçü íàëàãàåò îãðàíè÷åíèå íà èçìåíåíèå êîîðäèíàò è ñêîðîñòåé
òî÷åê. Ìàòåìàòè÷åñêè îãðàíè÷åíèÿ çàïèñûâàþòñÿ â âèäå óðàâíåíèé èëè
íåðàâåíñòâ.
     Ïóñòü ñèñòåìà ñîñòîèò èç n ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, à äåêàðòîâû êî-
îðäèíàòû i -é òî÷êè áóäóò                   xi , yi , zi , (i = 1,2,..., n ) . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
íà ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íàëîæåíà îäíà ñâÿçü, êîòîðóþ ìîæíî
ìàòåìàòè÷åñêè ïðåäñòàâèòü ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîé ôóíêöèè                                          f . Òîãäà
äëÿ ýòîé ôóíêöèè               f ∈ C1 â îáëàñòè D ýòî ìîæíî íàïèñàòü1:
    f (x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 ,..., xn , yn , zn , x&1, y&1, z&1,..., x& n , y& n , z&n , t ) ≤ 0 . (1.3.1)
      Åñëè â óðàâíåíèè (1.3.1) ñòîèò çíàê «ðàâíî» – ñâÿçü íàçûâàåòñÿ óäåð-
æèâàþùåé, åñëè ñòîèò çíàê íåðàâåíñòâà, òî ñâÿçü íàçûâàåòñÿ íåóäåðæè-
âàþùåé.
      Ðåøèì íåñêîëüêî çàäà÷ íà ñîñòàâëåíèå óðàâíåíèé ñâÿçè. Îòìåòèì,
÷òî â õîäå ðåøåíèÿ íåêîòîðûõ çàäà÷, ìû áóäåì ïîïóòíî äàâàòü îïðåäå-
ëåíèÿ äëÿ âïåðâûå âñòðå÷àþùèõñÿ ïîíÿòèé, êîòîðûå áóäåì âûäåëÿòü
êóðñèâîì.

          Çàäà÷à 1.

          Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ñâÿçè äëÿ äâóõ òî÷åê Ì1 è Ì2 ñ êîîðäèíàòà-
ìè      x1, y1, z1 è x2 , y2 , z2 , ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé: à) æåñòêèì ñòåðæíåì
äëèíîé l , á) ãèáêîé íåðàñòÿæèìîé íèòüþ äëèíîé l , â) íåãèáêèì ñòåð-
æíåì, èçìåíÿþùèì ñâîþ äëèíó l çàäàííûì îáðàçîì                                      l = l1 + l0 sin t .
1
    Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ îäíîé èëè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ ïðèíàä-
ëåæèò êëàññó         Cp    â îáëàñòè èçìåíåíèÿ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ                       D , åñëè âñå
å¸ ïðîèçâîäíûå ïîðÿäêà               p   ñóùåñòâóþò è íåïðåðûâíû â              D , ∈ - çíàê ïðèíàä-
ëåæíîñòè.