Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 163 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

163
Óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ
αξ
+=x
,
βζ
+=y
,
γη
+=z
. (6.5.26)
Êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ìîæíî ïðåä-
ñòàâèòü â âèäå ñóììû äâóõ ÷àñòåé, îäíà èç êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ äâè-
æåíèåì öåíòðà òÿæåñòè, à äðóãàÿ  äâèæåíèåì îòíîñèòåëüíî öåíòðà òÿ-
æåñòè, òî åñòü èçìåíåíèåì îðèåíòàöèè òåëà ïðè öåíòðå òÿæåñòè, ïðèíè-
ìàåìîì íåïîäâèæíûì (òåîðåìà ʸíèãà).
()
∑
=++=
222
2
1
zyxmT
&
&&
()()
()
{
}
∑
+++++=
2
22
2
1
γηβζαξ
&
&
&
&
&
&
m
. (6.5.27)
Òàê êàê
0===
∑∑∑
γβα
&
&
&
mmm
,
òî îêîí÷àòåëüíî òåîðåìà ʸíèãà äëÿ ñêîðîñòåé áóäåò èìåòü âèä:
()()
∑
+++++=
222222
2
1
2
1
γβαηζξ
&
&
&&
&
&
mMT
. (6.5.28)
Âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèè Ãèááñà çàïèøåòñÿ â ôîðìå
()()
∑
+++++=
222222
2
1
2
1
γβαηζξ
&&
&&
&&&&
&&
&&
mMG
. (6.5.29)
×òî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì îñíîâíîãî ñâîéñòâà öåíòðà òÿæåñòè, ñî-
ãëàñíî êîòîðîìó
0===
∑∑∑
γβα
&&
&&
&&
mmm . (6.5.30)
Çàìå÷àíèå. Åñëè ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ òâ¸ð-
äûõ òåë, òî óäîáíåå (êàê è â ñëó÷àå ñ òåîðåìîé ʸíèãà) ïðèìåíÿòü òåî-
ðåìó ê êàæäîìó òâ¸ðäîìó òåëó â îòäåëüíîñòè, à íå êî âñåé ñèñòåìå â
öåëîì.
Óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ                                            163
     x =ξ +α , y =ζ + β , z =η + γ .                        (6.5.26)
     Êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ìîæíî ïðåä-
ñòàâèòü â âèäå ñóììû äâóõ ÷àñòåé, îäíà èç êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ äâè-
æåíèåì öåíòðà òÿæåñòè, à äðóãàÿ – äâèæåíèåì îòíîñèòåëüíî öåíòðà òÿ-
æåñòè, òî åñòü èçìåíåíèåì îðèåíòàöèè òåëà ïðè öåíòðå òÿæåñòè, ïðèíè-
ìàåìîì íåïîäâèæíûì (òåîðåìà ʸíèãà).

               m (x& 2 + y& 2 + z& 2 ) =
           1
     T=
           2
             ∑
     =
         1
         2
           ∑    {(    2
                         ) (    2
                                           )
             m ξ& + α& + ζ& + β& + (η& + γ& ) .
                                             2
                                                   }           (6.5.27)

     Òàê êàê

     ∑ mα& = ∑ mβ& = ∑ mγ& = 0 ,
òî îêîí÷àòåëüíî òåîðåìà ʸíèãà äëÿ ñêîðîñòåé áóäåò èìåòü âèä:

     T=
           1
           2
                (                 )
                                  1
                                               (          )
             M ξ&2 + ζ& 2 + η& 2 + ∑ m α& 2 + β& 2 + γ& 2 .
                                  2
                                                               (6.5.28)

     Âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèè Ãèááñà çàïèøåòñÿ â ôîðìå

     G=
           1
           2
                 (                )1
                                               (          )
             M ξ&&2 + ζ&&2 + η&&2 + ∑ m α&&2 + β&&2 + γ&&2 .
                                   2
                                                               (6.5.29)

     ×òî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì îñíîâíîãî ñâîéñòâà öåíòðà òÿæåñòè, ñî-
ãëàñíî êîòîðîìó

     ∑ mα&& = ∑ mβ&& = ∑ mγ&& = 0 .                            (6.5.30)

     Çàìå÷àíèå. Åñëè ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ òâ¸ð-
äûõ òåë, òî óäîáíåå (êàê è â ñëó÷àå ñ òåîðåìîé ʸíèãà) ïðèìåíÿòü òåî-
ðåìó ê êàæäîìó òâ¸ðäîìó òåëó â îòäåëüíîñòè, à íå êî âñåé ñèñòåìå â
öåëîì.

Страницы