Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 165 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

165
Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ
Ãëàâà VII
Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ
 ýòîé ãëàâå ðàññìàòðèâàåòñÿ øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ.
Óñòàíàâëèâàåòñÿ åãî ñâÿçü ñ óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà, Ãàìèëüòîíà, Ðàóñ-
ñà è ïðèíöèïîì Ãàìèëüòîíà. Ââîäèòñÿ ïîíÿòèå î ãëàâíîé ôóíêöèè, è
ðàññìàòðèâàþòñÿ å¸ ñâîéñòâà.
§7.1. Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ
Ðàññìîòðèì êîíñåðâàòèâíóþ ãîëîíîìíóþ (íîðìàëüíóþ) ñèñòåìó
ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.  ñîîòâåòñòâèè ñ §3.3 äëÿ òàêîé ñèñòåìû ìàòåðè-
àëüíûõ òî÷åê ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ïîëîæåíèÿ:
1) ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó
r
q
è
r
x
íå ñîäåðæàò ÿâíî âðåìÿ t ,
2) çàäàííûå ñèëû êîíñåðâàòèâíû,
3) ñèñòåìà ãîëîíîìíà è îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû âûáðàíû òàê, ÷òî
ln =
(÷èñëî îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò ìèíèìàëüíî) è ÷åòâ¸ðòàÿ ôîðìà
îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ (3.1.14) ñïðàâåäëèâà äëÿ ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèé
n
qqq
δδδ ,...,,
21
.
Íàïèøåì ÷åòâ¸ðòóþ ôîðìó îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ â âèäå
∑
=
=δ
∂
∂
−
∂
∂
n
r
r
rr
q
q
L
q
L
dt
d
1
0
&
, (7.1.1)
êîòîðàÿ âñëåäñòâèå ïðîèçâîëüíîñòè âàðèàöèé
n
qqq
δδδ ,...,,
21
ýêâèâà-
ëåíòíà
n
óðàâíåíèÿì Ëàãðàíæà
0=
∂
∂
−
∂
∂
rr
q
L
q
L
dt
d
&
, nr ,...,2,1= . (3.6.3)
Ñîñòàâèì âàðèàöèþ ôóíêöèè Ëàãðàíæà
()
t,q,qLL
&
=
ïðè ïðîèç-
Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ                                        165



                  Ãëàâà VII
                  Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ
     Â ýòîé ãëàâå ðàññìàòðèâàåòñÿ øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ.
Óñòàíàâëèâàåòñÿ åãî ñâÿçü ñ óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà, Ãàìèëüòîíà, Ðàóñ-
ñà è ïðèíöèïîì Ãàìèëüòîíà. Ââîäèòñÿ ïîíÿòèå î ãëàâíîé ôóíêöèè, è
ðàññìàòðèâàþòñÿ å¸ ñâîéñòâà.

       §7.1. Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ

     Ðàññìîòðèì êîíñåðâàòèâíóþ ãîëîíîìíóþ (íîðìàëüíóþ) ñèñòåìó
ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.  ñîîòâåòñòâèè ñ §3.3 äëÿ òàêîé ñèñòåìû ìàòåðè-
àëüíûõ òî÷åê ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ïîëîæåíèÿ:
      1) ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó q r è x r íå ñîäåðæàò ÿâíî âðåìÿ t ,
      2) çàäàííûå ñèëû êîíñåðâàòèâíû,
      3) ñèñòåìà ãîëîíîìíà è îáîáù¸ííûå êîîðäèíàòû âûáðàíû òàê, ÷òî
n = l (÷èñëî îáîáù¸ííûõ êîîðäèíàò ìèíèìàëüíî) è ÷åòâ¸ðòàÿ ôîðìà
îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ (3.1.14) ñïðàâåäëèâà äëÿ ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèé
δq1 , δq2 ,..., δqn .
      Íàïèøåì ÷åòâ¸ðòóþ ôîðìó îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ â âèäå
        n    d  ∂L  ∂L 
      ∑  dt  ∂q&   − δqr = 0 ,                               (7.1.1)
       r =1     r  ∂qr 
êîòîðàÿ âñëåäñòâèå ïðîèçâîëüíîñòè âàðèàöèé        δq1 , δq2 ,..., δqn ýêâèâà-
ëåíòíà n óðàâíåíèÿì Ëàãðàíæà

       d     ∂L         ∂L
                       −    =0,    r = 1,2 ,..., n .           (3.6.3)
       dt     ∂ q& r     ∂q r
      Ñîñòàâèì âàðèàöèþ ôóíêöèè Ëàãðàíæà         L = L(q ,q& ,t ) ïðè ïðîèç-

Страницы