Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 166 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

166
Ãëàâà ñåäüìàÿ
âîëüíûõ
r
q
è
r
q
&
è íåèçìåííîì âðåìåíè t :
∑
=
δ
∂
∂
+δ
∂
∂
=δ
n
r
r
r
r
r
q
q
L
q
q
L
L
1
&
&
. (7.1.2)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
r
r
q
L
p
&
∂
∂
= , à
r
rr
p
q
L
dt
d
q
L
&
&
=
∂
∂
=
∂
∂
â ñîîòâåòñòâèè
ñ (3.6.3), ïåðåïèøåì (7.1.2) â âèäå
()
∑
=
δ=δ+δ
n
r
rrrr
Lqpqp
1
&&
, (7.1.3)
ïðåäñòàâëÿþùèì ñîáîé øåñòóþ ôîðìó îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ, ñïðàâåäëè-
âóþ ïðè ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ
r
q
δ è
r
q
&
δ .
Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ íàèáîëåå óäîáíà äëÿ îïèñàíèÿ
íàòóðàëüíûõ ñèñòåì ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
§7.2. Ýêâèâàëåíòíîñòü øåñòîé ôîðìû îñíîâíîãî
óðàâíåíèÿ ñ óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà è
Ãàìèëüòîíà
Øåñòóþ ôîðìó îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ ìû ïîëó÷èëè èç óðàâíåíèé
Ëàãðàíæà. Ðåøèì îáðàòíóþ çàäà÷ó  âûâåäåì óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà èç
óðàâíåíèÿ (7.1.3). Òàê êàê øåñòàÿ ôîðìà óðàâíåíèÿ ñïðàâåäëèâà ïðè
ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ
r
q
δ è
r
q
&
δ , òî, ñðàâíèâàÿ åãî ñ (7.1.2), ìû
ìîæåì çàïèñàòü
r
r
q
L
p
&
∂
∂
= ,
r
r
q
L
p
∂
∂
=
&
, nr ,...,2,1= . (7.2.1)
Îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî
rr
q
L
q
L
dt
d
∂
∂
=
∂
∂
&
, nr ,...,2,1= . (7.2.2)
Ðàññìîòðèì âàðèàöèþ îò ôóíêöèè
166                                                                     Ãëàâà      ñåäüìàÿ

âîëüíûõ      qr è q& r è íåèçìåííîì âðåìåíè t :
             n
                 ∂L          ∂L           
      δL = ∑         δq r +       δq& r  .                                     (7.1.2)
           r =1  ∂q r        ∂q& r        

                                          ∂L       ∂L   d  ∂L       
      Ó÷èòûâàÿ, ÷òî              pr =           ,à     =            = p& r â ñîîòâåòñòâèè
                                          ∂q& r    ∂q r dt  ∂q& r    
ñ (3.6.3), ïåðåïèøåì (7.1.2) â âèäå
       n

      ∑ ( p& δq
      r =1
                 r       r   + p r δq& r ) = δL ,                                  (7.1.3)

ïðåäñòàâëÿþùèì ñîáîé øåñòóþ ôîðìó îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ, ñïðàâåäëè-
âóþ ïðè ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ δqr è δq& r .
     Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ íàèáîëåå óäîáíà äëÿ îïèñàíèÿ
íàòóðàëüíûõ ñèñòåì ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.

      §7.2. Ýêâèâàëåíòíîñòü øåñòîé ôîðìû îñíîâíîãî
            óðàâíåíèÿ ñ óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà è
            Ãàìèëüòîíà

     Øåñòóþ ôîðìó îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ ìû ïîëó÷èëè èç óðàâíåíèé
Ëàãðàíæà. Ðåøèì îáðàòíóþ çàäà÷ó – âûâåäåì óðàâíåíèÿ Ëàãðàíæà èç
óðàâíåíèÿ (7.1.3). Òàê êàê øåñòàÿ ôîðìà óðàâíåíèÿ ñïðàâåäëèâà ïðè
ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ                     δqr è δq& r , òî, ñðàâíèâàÿ åãî ñ (7.1.2), ìû
ìîæåì çàïèñàòü
                 ∂L                      ∂L
      pr =             ,        p& r =       , r = 1,2,..., n .                    (7.2.1)
                 ∂q& r                   ∂qr
      Îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî

      d       ∂L         ∂L
                        =    , r = 1,2,..., n .                                (7.2.2)
      dt       ∂ q& r     ∂q r
      Ðàññìîòðèì âàðèàöèþ îò ôóíêöèè

Страницы