Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 167 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

167
Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ
HLqp
n
r
rr
=−
∑
=
1
&
. (7.2.3)
()
=δ−δ=
−δ
∑∑
==
LqpLqp
n
r
rr
n
r
rr
11
&&
()
=δ−δ−δ+δ=
∑
=
n
r
rrrrrrrr
qpqpqppq
1
&&&&
()
∑
=
δ−δ=
n
r
rrrr
qppq
1
&&
. (7.2.4)
Óðàâíåíèÿ
r
r
q
L
p
&
∂
∂
= , nr ,...,2,1= , îïðåäåëÿþùèå
r
p
è ëè-
íåéíûå ïî
r
q
&
, ïîçâîëÿþò íàéòè
r
q
&
êàê ôóíêöèè îò tpq
rr
,, . Èñêëþ÷èâ
çàòåì
r
q
&
â âûðàæåíèè Lqp
rr
−
&
, ïîëó÷èì ôóíêöèþ H .  èñõîäíîì
óðàâíåíèè (7.1.3) âàðèàöèè
r
q
δ è
r
q
&
δ áûëè ïðîèçâîëüíû, ïîýòîìó ïðî-
èçâîëüíûìè îíè áóäóò è â óðàâíåíèè
()
Hqppq
n
r
rrrr
δ=δ−δ
∑
=
1
&&
. (7.2.4)
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âàðüèðóÿ
()
t,p,qHH
=
ïî
r
q
è
r
p
, ïîëó÷èì
∑
=
δ
∂
∂
+δ
∂
∂
=δ
n
r
r
r
r
r
p
p
H
q
q
H
H
1
.
Ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ âàðèàöèÿõ, ìîæåì çà-
ïèñàòü óðàâíåíèÿ
r
r
p
H
q
∂
∂
=
&
,
r
r
q
H
p
∂
∂
−=
&
, nr ,...,2,1= , (7.2.5)
êîòîðûå åñòü íå ÷òî èíîå, êàê óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà. Ôóíêöèÿ H ÿâëÿ-
Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ                                                        167

         n

        ∑ p q&
        r =1
                   r r   −L=H .                                                    (7.2.3)


          n                   n
        δ ∑ pr q& r − L  = δ∑ ( pr q&r ) − δL =
          r =1              r =1

               n
        = ∑ (q& r δpr + pr δq& r − p& r δqr − pr δq& r ) =
             r =1

               n
        = ∑ (q& r δpr − p& r δqr ) .                                               (7.2.4)
             r =1

                                     ∂L
     Óðàâíåíèÿ                pr =        ,         r = 1,2,..., n , îïðåäåëÿþùèå pr è ëè-
                                     ∂q&r
íåéíûå ïî           q&r , ïîçâîëÿþò íàéòè q&r êàê ôóíêöèè îò qr , pr , t . Èñêëþ÷èâ
çàòåì    q&r â âûðàæåíèè pr q&r − L , ïîëó÷èì ôóíêöèþ H .  èñõîäíîì
óðàâíåíèè (7.1.3) âàðèàöèè δqr è δq& r áûëè ïðîèçâîëüíû, ïîýòîìó ïðî-
èçâîëüíûìè îíè áóäóò è â óðàâíåíèè
         n

        ∑ (q& δp
        r =1
                    r    r   − p& r δqr ) = δH .                                   (7.2.4)


     Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âàðüèðóÿ                       H = H (q , p ,t ) ïî qr è pr , ïîëó÷èì
               n
                   ∂H        ∂H       
        δH = ∑        δqr +     δpr  .
             r =1  ∂qr       ∂pr      
     Ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ âàðèàöèÿõ, ìîæåì çà-
ïèñàòü óðàâíåíèÿ
                    ∂H                      ∂H
        q& r =          ,        p& r = −       ,         r = 1,2,..., n ,         (7.2.5)
                    ∂pr                     ∂qr
êîòîðûå åñòü íå ÷òî èíîå, êàê óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà. Ôóíêöèÿ                        H ÿâëÿ-

Страницы