Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 169 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

169
Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ
∑∑
=+=
δ
∂
∂
+δ
∂
∂
+
δ
∂
∂
+δ
∂
∂
=δ
m
r
n
mr
r
r
r
r
r
r
r
r
q
q
R
q
q
R
p
p
R
q
q
R
R
11
&
&
.
Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííîå âûøå óðàâíåíèå ñ (7.3.1), çàïèøåì:
r
r
p
R
q
∂
∂
−=
&
,
r
r
q
R
p
∂
∂
=
&
, mr ,...,2,1= , (7.3.2)
r
r
q
R
p
∂
∂
=
&
,
r
r
q
R
p
&
∂
∂
= , nmmr ,...,2,1 ++= . (7.3.3)
Ïåðâûå m ïàð óðàâíåíèé (7.3.2) èìåþò ãàìèëüòîíîâó ôîðìó, ðîëü
ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà H èãðàåò (ñì. 7.2.5) ôóíêöèÿ
()
R
−
, îñòàëüíûå
mn −
ïàð  ëàãðàíæåâó ôîðìó (ðîëü ôóíêöèè L èãðàåò ôóíêöèÿ R ).
×òîáû ïîñòðîèòü ôóíêöèþ Ðàóñà R , íàäî ðåøèòü m ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé
r
r
q
L
p
&
∂
∂
= , mr ,...,2,1= , îòíîñèòåëüíî
m
qqq
&&&
,...,,
21
, âûðà-
çèâ èõ ÷åðåç tqqqqqqppp
nnmmm
,,...,,,,...,,,,...,,
212121
&&&
++
.
Íàèáîëåå èíòåðåñåí ñëó÷àé, êîãäà ïåðâûå m îáîáù¸ííûõ êîîð-
äèíàò ÿâëÿþòñÿ öèêëè÷åñêèìè.  ýòîì ñëó÷àå ïåðâûå m îáîáù¸ííûõ
èìïóëüñîâ
m
ppp
,...,,
21
â ïðîöåññå äâèæåíèÿ îñòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè è
ôóíêöèÿ Ðàóñà R èãðàåò ðîëü ôóíêöèè Ëàãðàíæà L äëÿ ñèñòåìû ñ
mn − ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, îïèñûâàåìîé êîîðäèíàòàìè
nmm
qqq
,...,,
21
++
.
Øåñòàÿ ôîðìà îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ                                                       169

             m
                  ∂R        ∂R            n
                                                  ∂R        ∂R           
       δR = ∑        δqr +     δpr  + ∑          δqr +       δq& r  .
            r =1  ∂qr       ∂pr       r = m +1  ∂qr       ∂q& r        

       Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííîå âûøå óðàâíåíèå ñ (7.3.1), çàïèøåì:
                  ∂R         ∂R
       q& r = −         &r =
                      , p        , r = 1,2,..., m ,                       (7.3.2)
                  ∂pr        ∂qr

                 ∂R                ∂R
        p& r =       ,      pr =         , r = m + 1, m + 2,..., n .      (7.3.3)
                 ∂qr               ∂q& r
       Ïåðâûåm ïàð óðàâíåíèé (7.3.2) èìåþò ãàìèëüòîíîâó ôîðìó, ðîëü
ôóíêöèè Ãàìèëüòîíà H èãðàåò (ñì. 7.2.5) ôóíêöèÿ (− R ) , îñòàëüíûå
n − m ïàð – ëàãðàíæåâó ôîðìó (ðîëü ôóíêöèè L èãðàåò ôóíêöèÿ R ).
     ×òîáû ïîñòðîèòü ôóíêöèþ Ðàóñà R , íàäî ðåøèòü m ëèíåéíûõ
                         ∂L
óðàâíåíèé        pr =          , r = 1,2,..., m , îòíîñèòåëüíî q&1 , q& 2 ,..., q& m , âûðà-
                         ∂q& r
çèâ èõ ÷åðåçp1 , p2 ,..., pm , q&m +1 , q&m + 2 ,..., q&n , q1 , q2 ,..., qn , t .
     Íàèáîëåå èíòåðåñåí ñëó÷àé, êîãäà ïåðâûå m îáîáù¸ííûõ êîîð-
äèíàò ÿâëÿþòñÿ öèêëè÷åñêèìè.  ýòîì ñëó÷àå ïåðâûå m îáîáù¸ííûõ
èìïóëüñîâ p1 , p2 ,..., pm â ïðîöåññå äâèæåíèÿ îñòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè è
ôóíêöèÿ Ðàóñà R èãðàåò ðîëü ôóíêöèè Ëàãðàíæà                           L äëÿ ñèñòåìû ñ
n − m ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, îïèñûâàåìîé                                    êîîðäèíàòàìè
qm +1 , qm + 2 ,..., qn .

Страницы