Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 170 стр.

170                                                        Ãëàâà     ñåäüìàÿ

      §7.4. Òåîðåìà
                                d
                                   ( p r δqr ) = δL
                                dt

     Ðàññìîòðèì øåñòóþ ôîðìó îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ â óïðîù¸ííîé
çàïèñè (áåç çíàêà ñóììèðîâàíèÿ)
     p& r δqr + pr δq&r = δL .                          (7.4.1)
    Áóäåì ñóäèòü î äâèæåíèè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ïî äâèæå-
íèþ èçîáðàæàþùåé òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå n èçìåðåíèé ñ êîîðäèíàòà-
ìè  q1 , q2 ,..., qn . Ðàññìîòðèì èñòèííóþ òðàåêòîðèþ ñèñòåìû, òî åñòü
òðàåêòîðèþ â q - ïðîñòðàíñòâå, óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèÿì äâèæå-
íèÿ. Ðàññìîòðèì âàðèàöèþ, ñîîòâåòñòâóþùóþ ïåðåõîäó îò òî÷êè
q1 , q2 ,..., qn ê òî÷êå q1 + δq1 , q2 + δq2 ,..., qn + δqn , äëÿ êàæäîãî ìîìåí-
òà âðåìåíè. Âàðüèðîâàííàÿ òðàåêòîðèÿ â îáùåì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ èñ-
òèííîé òðàåêòîðèåé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, òî åñòü íå óäîâëåò-
âîðÿåò óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ. Âàðèàöèè ïðè ýòîì ïðîèçâîëüíû è ïîä-
÷èíåíû ëèøü îäíîìó óñëîâèþ: êàæäàÿ èç âàðèàöèé             δqr åñòü ôóíêöèÿ
îò t êëàññà C2 . Ó÷èòûâàÿ ñèíõðîííîñòü âàðèàöèé (îïóñêàÿ çíàê ñóì-
ìèðîâàíèÿ), ìû ìîæåì íàïèñàòü
                d
      δq& r =      δqr ,         r = 1,2,..., n .                     (7.4.2)
                dt
      Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (7.4.1) ñ ó÷¸òîì (7.4.2)

                                pr δqr + pr δqr = ( pr δqr ) = δL ,
                             d             d     d
      p& r δqr + pr δq&r =
                             dt            dt    dt
èëè
      d
         ( pr δqr ) = δL .                                            (7.4.3)
      dt
      Óðàâíåíèå (7.4.3) ãîâîðèò î òîì, ÷òî ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ñêàëÿðíî-
ãî ïðîèçâåäåíèÿ     pr δqr ðàâíà âàðèàöèè L , îáóñëîâëåííîé ñèíõðîííûì âà-
ðüèðîâàíèåì     δqr è δq& r .