Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 172 стр.

172                                                                     Ãëàâà   ñåäüìàÿ
ðèè â q -ïðîñòðàíñòâå (âäîëü ïóòè, óäîâëåòâîðÿþùåãî óðàâíåíèÿì äâè-
æåíèÿ).
     Âàðüèðîâàííûé èíòåãðàë áåð¸òñÿ âäîëü äîïóñòèìîãî ïóòè, êîòî-
ðûé, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíîé òðàåêòîðèåé.

       §7.6. Ãëàâíàÿ ôóíêöèÿ

     Ãëàâíàÿ ôóíêöèÿ, ââåä¸ííàÿ Ãàìèëüòîíîì â 1834 ãîäó, ïîäñêàçàíà
ìåòîäàìè, ïðèìåíÿåìûìè â ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêå, è ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü
äèíàìè÷åñêè âîçìîæíûå äâèæåíèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
                                                                           t1

      Â ÿâíîì âèäå ãëàâíàÿ ôóíêöèÿ S åñòü èíòåãðàë                         ∫ Ldt , âçÿòûé
                                                                           t0

âäîëü äåéñòâèòåëüíîé òðàåêòîðèè (ïóòü â q - ïðîñòðàíñòâå, óäîâëåòâî-
ðÿþùèé óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ) è âûðàæåííûé ÷åðåç íà÷àëüíûå è êî-
íå÷íûå çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò, à òàê æå íà÷àëüíîå è êîíå÷íîå çíà÷åíèå
âðåìåíè:
       S = S (q10 , q20 ,..., qn 0 ; q11 , q21 ,..., qn1 ; t0 , t1 ),           (7.6.1)
èëè â êðàòêîé çàïèñè
       S = S (qr 0 ; qr1 ; t0 , t1 ) .                                          (7.6.2)
      Ðàññìîòðèì ïðàâèëà ïîñòðîåíèÿ ãëàâíîé ôóíêöèè.
      Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû çíàåì èíòåãðàëû óðàâíåíèé äâèæåíèÿ Ëàã-
ðàíæà, òîãäà êàæäàÿ êîîðäèíàòà                 q r åñòü èçâåñòíàÿ îäíîçíà÷íàÿ ôóíê-
öèÿ îò   n ïåðåìåííûõ q r 0 , n ïåðåìåííûõ q& r 0 ( q&r 0 åñòü q& r â ìîìåíò
âðåìåíè     t0 ), à òàê æå ìîìåíòîâ âðåìåíè t0 è t .
      Òàêèì îáðàçîì, íàì èçâåñòíû ôóíêöèè
       qs = ϕ s (qr 0 ; q&r 0 ; t0 , t ) ,           s = 1,2,..., n .           (7.6.3)

      Òåïåðü ìîæíî ñîñòàâèòü ôóíêöèþ                       L ÷åðåç 2 n + 1 ïàðàìåòðîâ
(qr 0 ; q&r 0 ; t0 ) è ïåðåìåííóþ t . Èíòåãðèðóÿ ïîëó÷åííóþ ôóíêöèþ îò t0
äî   t 1 , ìû ïîëó÷èì å¸ âûðàæåíèå ÷åðåç n ïàðàìåòðîâ qr 0 , n ïàðàìåò-