Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 161 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

161
Óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ
óðàâíåíèå äâèæåíèÿ êàòÿùåãîñÿ öèëèíäðà. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îñè
öèëèíäðîâ ãîðèçîíòàëüíû, à ïîâåðõíîñòè øåðîõîâàòûå, òî åñòü ïðî-
ñêàëüçûâàíèå èñêëþ÷åíî, è êàòÿùèéñÿ öèëèíäð íå îòðûâàåòñÿ îò íå-
ïîäâèæíîãî öèëèíäðà âî âñ¸ âðåìÿ ñâîåãî äâèæåíèÿ.
Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî.
Ðåøåíèå çàäà÷è.
Âûáåðåì ÈÑÎ Ëàáîðà-
òîðèÿ, ïîìåñòèâ íà÷àëî ïî-
ëÿðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò â
öåíòð íåïîäâèæíîãî öèëèíä-
ðà. Ñäåëàåì ÷åðò¸æ.
 äàííîé çàäà÷å ìû èìå-
åì îäíó ñòåïåíü ñâîáîäû, òî
åñòü
1=k
. Ïóñòü â ïîëîæå-
íèè ðàâíîâåñèÿ òî÷êà
A
′
íà ïîâåðõíîñòè ïîäâèæíîãî öèëèíäðà ñîâïà-
äàëà ñ íàèíèçøåé òî÷êîé
A
íà ïîâåðõíîñòè íåïîäâèæíîãî öèëèíäðà.
Åñëè òî÷êà ñîïðèêîñíîâåíèÿ êàòÿùåãîñÿ öèëèíäðà ïåðåìåñòèòñÿ â òî÷-
êó
B
, òî íà îñíîâàíèè òîãî, ÷òî äâèæåíèå ïðîèñõîäèò áåç ïðîñêàëüçû-
âàíèÿ, ìû ìîæåì íàïèñàòü, ÷òî äëèíà äóãè
BA
′
ðàâíÿåòñÿ äëèíå äóãè
AB
, èëè
()
θϕθ
21
rr
=+
. Ââåäÿ îáîçíà÷åíèå
12
rrr −=
, ïåðåïèøåì
ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî â âèäå
θϕ
rr =
1
. (6.5.21)
Ôóíêöèÿ Ãèááñà áóäåò ñîñòîÿòü èç ñîñòàâëÿþùåé, îáóñëîâëåííîé
âðàùåíèåì ïîäâèæíîãî öèëèíäðà âîêðóã îñè íåïîäâèæíîãî öèëèíäðà,
è èç ñîáñòâåííîãî âðàùåíèÿ ïîäâèæíîãî öèëèíäðà
Íàéòè
()
θθ
&&
,F
Äàíî
1
r
,
2
r
.
Ðèñ. 19.
θ
θ
ϕ
r
1
r
2
b
a
A
B
A
O
Óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ                                                       161
óðàâíåíèå äâèæåíèÿ êàòÿùåãîñÿ öèëèíäðà. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îñè
öèëèíäðîâ ãîðèçîíòàëüíû, à ïîâåðõíîñòè øåðîõîâàòûå, òî åñòü ïðî-
ñêàëüçûâàíèå èñêëþ÷åíî, è êàòÿùèéñÿ öèëèíäð íå îòðûâàåòñÿ îò íå-
ïîäâèæíîãî öèëèíäðà âî âñ¸ âðåìÿ ñâîåãî äâèæåíèÿ.

     Çàïèøåì óñëîâèå çàäà÷è êðàòêî.


Íàéòè             ( )
             F θ ,θ&&
                                                                          b
Äàíî         r1 ,
             r2 .

                                                                    a
     Ðåøåíèå çàäà÷è.                           O
                                                   θ       r1
     Âûáåðåì ÈÑÎ “Ëàáîðà-
                                                       A        ϕ
òîðèÿ”, ïîìåñòèâ íà÷àëî ïî-                   r2                    θ         B
ëÿðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò â
öåíòð íåïîäâèæíîãî öèëèíä-
ðà. Ñäåëàåì ÷åðò¸æ.
      äàííîé çàäà÷å ìû èìå-                       A
åì îäíó ñòåïåíü ñâîáîäû, òî       Ðèñ. 19.
åñòü k = 1 . Ïóñòü â ïîëîæå-
íèè ðàâíîâåñèÿ òî÷êà A′ íà ïîâåðõíîñòè ïîäâèæíîãî öèëèíäðà ñîâïà-
äàëà ñ íàèíèçøåé òî÷êîé A íà ïîâåðõíîñòè íåïîäâèæíîãî öèëèíäðà.
Åñëè òî÷êà ñîïðèêîñíîâåíèÿ êàòÿùåãîñÿ öèëèíäðà ïåðåìåñòèòñÿ â òî÷-
êó B , òî íà îñíîâàíèè òîãî, ÷òî äâèæåíèå ïðîèñõîäèò áåç ïðîñêàëüçû-
âàíèÿ, ìû ìîæåì íàïèñàòü, ÷òî äëèíà äóãè    A′B ðàâíÿåòñÿ äëèíå äóãè
AB , èëè r1 (θ + ϕ ) = r2θ . Ââåäÿ îáîçíà÷åíèå r = r2 − r1 , ïåðåïèøåì
ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî â âèäå
     r1ϕ = rθ .                                                         (6.5.21)
      Ôóíêöèÿ Ãèááñà áóäåò ñîñòîÿòü èç ñîñòàâëÿþùåé, îáóñëîâëåííîé
âðàùåíèåì ïîäâèæíîãî öèëèíäðà âîêðóã îñè íåïîäâèæíîãî öèëèíäðà,
è èç ñîáñòâåííîãî âðàùåíèÿ ïîäâèæíîãî öèëèíäðà

Страницы