Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 159 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

159
Óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ
2. Äâèæåíèå ïëîñêîé òâ¸ðäîé ïëàñòèíêè â ñâîåé ïëîñêîñòè.
Äëÿ èçó÷åíèÿ äâèæåíèÿ ïëîñêîé òâ¸ðäîé ïëàñòèíêè â ïëîñêîñòè
ñâîåãî äâèæåíèÿ, ìû âûáåðåì â êà÷åñòâå ÈÑÎ Ëàáîðàòîðèþ, ñâÿçàâ ñ
íåé äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò, â êîòîðîé áóäåì ðàññìàòðèâàòü äâè-
æåíèå öåíòðà òÿæåñòè ïëàñòèíêè. Âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå ïëàñòèíêè
ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü â ïî-
ëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îòíî-
ñèòåëüíî ñèñòåìû îñåé, ñîõðàíÿ-
þùèõ íåèçìåííîå íàïðàâëåíèå,
ñ íà÷àëîì â öåíòðå òÿæåñòè ïëà-
ñòèíêè.
Ïóñòü
cc
yx
, êîîðäèíàòû
öåíòðà òÿæåñòè. Òîãäà ìû ìîæåì
ñðàçó íàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ
ïåðâîé ÷àñòè ôóíêöèè Ãèááñà,
ñîîòâåòñòâóþùåå äâèæåíèþ öåí-
òðà òÿæåñòè
()
222
2
1
2
1
cccc
MayxMG
=+=
&&&&
, (6.5.16)
ãäå
M
ìàññà ïëàñòèíêè.
Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ âòîðîé ÷àñòè ôóíêöèè Ãèááñà, ñîîòâåò-
ñòâóþùåé âðàùàòåëüíîìó äâèæåíèþ ïëàñòèíêè âîêðóã öåíòðà òÿæåñ-
òè. Âûáåðåì íà ïëàñòèíêå íåêîòîðóþ ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó À ñ êîîðäè-
íàòàìè
yx,
(ñì. ðèñ.18). Ñîñòàâèì äëÿ íå¸ ôóíêöèþ Ãèááñà
()
22
2
1
yxmG
A
&&&&
+=
θ
, (6.5.17)
ãäå
m
- ìàññà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè À. Ìû ìûñëåííî ðàçáèëè ïëàñòèíêó
íà íåêîòîðîå äîñòàòî÷íî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê îäè-
íàêîâîé ìàññû
m
, äâèæóùèõñÿ êàê îäíî öåëîå.
Ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ óñêîðåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè À â ïî-
ëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ.
Òàê êàê
θ
cosrx =
,
θ
sinry =
,
òî
O
x
y
y
x
θ
C
′
x
′
y
Ðèñ.18.
A
x
c
y
c
Óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ                                          159
     2. Äâèæåíèå ïëîñêîé òâ¸ðäîé ïëàñòèíêè â ñâîåé ïëîñêîñòè.
     Äëÿ èçó÷åíèÿ äâèæåíèÿ ïëîñêîé òâ¸ðäîé ïëàñòèíêè â ïëîñêîñòè
ñâîåãî äâèæåíèÿ, ìû âûáåðåì â êà÷åñòâå ÈÑÎ “Ëàáîðàòîðèþ”, ñâÿçàâ ñ
íåé äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò, â êîòîðîé áóäåì ðàññìàòðèâàòü äâè-
æåíèå öåíòðà òÿæåñòè ïëàñòèíêè. Âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå ïëàñòèíêè
ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü â ïî-
ëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îòíî-    y
ñèòåëüíî ñèñòåìû îñåé, ñîõðàíÿ-          y′
þùèõ íåèçìåííîå íàïðàâëåíèå,      y                  A
ñ íà÷àëîì â öåíòðå òÿæåñòè ïëà-
ñòèíêè.
                                                θ
                                 yc
     Ïóñòü xc , y c êîîðäèíàòû            C                   x′
öåíòðà òÿæåñòè. Òîãäà ìû ìîæåì
ñðàçó íàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ
ïåðâîé ÷àñòè ôóíêöèè Ãèááñà,              O   xc   x             x
ñîîòâåòñòâóþùåå äâèæåíèþ öåí-                          Ðèñ.18.
òðà òÿæåñòè

                M (&x&c2 + &y&c2 ) = Mac2 ,
              1                     1
       Gc =                                                  (6.5.16)
              2                     2
ãäå   M ìàññà ïëàñòèíêè.
     Ñîñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ âòîðîé ÷àñòè ôóíêöèè Ãèááñà, ñîîòâåò-
ñòâóþùåé âðàùàòåëüíîìó äâèæåíèþ ïëàñòèíêè âîêðóã öåíòðà òÿæåñ-
òè. Âûáåðåì íà ïëàñòèíêå íåêîòîðóþ ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó À ñ êîîðäè-
íàòàìè x, y (ñì. ðèñ.18). Ñîñòàâèì äëÿ íå¸ ôóíêöèþ Ãèááñà

                  m(&x&2 + &y&2 ) ,
                1
       Gθ A =                                                (6.5.17)
                2
ãäå m - ìàññà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè À. Ìû ìûñëåííî ðàçáèëè ïëàñòèíêó
íà íåêîòîðîå äîñòàòî÷íî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê îäè-
íàêîâîé ìàññû m , äâèæóùèõñÿ êàê îäíî öåëîå.
     Ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ óñêîðåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè À â ïî-
ëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ.
     Òàê êàê
       x = r cosθ , y = r sinθ ,
òî

Страницы