Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 157 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

157
Óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ
++−=
2
2
6
4
2
2
2
2
2
1
r
q
r
q
r
qr
rmG
&&&&&&
&&
.
Îòáðàñûâàÿ íå çàâèñÿùèé îò óñêîðåíèÿ ÷ëåí
6
4
r
q
&
, îêîí÷àòåëüíî
ïîëó÷èì:
+−=
2
2
2
3
2
12
2
1
q
r
rq
r
rmG
&&&&&&&
. (6.5.8)
Âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè Ãèááñà ìîæíî âûâåñòè è íåïîñðåäñòâåí-
íî, âîñïîëüçîâàâøèñü âûðàæåíèåì äëÿ ýëåìåíòà
ds
â ïîëÿðíûõ êîîð-
äèíàòàõ.
2222
θ
drdrds +=
. (6.5.9)
Èñïîëüçóÿ Ïðèëîæåíèå V, ñîñòàâèì âûðàæåíèÿ äëÿ ðàäèàëüíîé
è òàíãåíöèàëüíîé ñîñòàâëÿþùèõ óñêîðåíèé:
ðàäèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ
3
2
2
r
q
rrra
r
&
&&
&
&&
−=−=
θ
; (6.5.10)
òàíãåíöèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ
r
q
rra
&&
&
&
&&
=+=
θθ
θ
2
. (6.5.11)
Åñëè ðàäèàëüíóþ è òàíãåíöèàëüíóþ ñîñòàâëÿþùèå ñèëû îáîçíà-
÷èòü ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç
r
F
è
θ
F , òî ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ íà âèðòó-
àëüíîì ïåðåìåùåíèè, áóäåò ðàâíà
qFrFA
r
δδ
θ
+= (6.5.12)
è óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ ïðèìóò âèä
r
F
r
q
rm
=
−
3
2
&
&&
,
θ
rFqm
=
&&
. (6.5.13)
 çàäà÷àõ î äâèæåíèè ïî öåíòðàëüíûì îðáèòàì ñèëîâîå ïîëå ÿâ-
Óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ                                                   157

        1  2     &r&q& 2 q& 4 q&&2 
     G = m r − 2 2 + 6 + 2  .
             &&
        2          r     r     r 

                                               q& 4
     Îòáðàñûâàÿ íå çàâèñÿùèé îò óñêîðåíèÿ ÷ëåí 6 , îêîí÷àòåëüíî
                                               r
ïîëó÷èì:

           1  2 2 2            1 
     G=     m &r& − 3 q& &r& + 2 q&&2  .                            (6.5.8)
           2       r          r       
     Âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè Ãèááñà ìîæíî âûâåñòè è íåïîñðåäñòâåí-
íî, âîñïîëüçîâàâøèñü âûðàæåíèåì äëÿ ýëåìåíòà ds â ïîëÿðíûõ êîîð-
äèíàòàõ.
     ds 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 .                           (6.5.9)
      Èñïîëüçóÿ Ïðèëîæåíèå V, ñîñòàâèì âûðàæåíèÿ äëÿ ðàäèàëüíîé
è òàíãåíöèàëüíîé ñîñòàâëÿþùèõ óñêîðåíèé:
     ðàäèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ

                             q& 2
     ar = &r& − rθ& 2 = &r& − 3 ;                                     (6.5.10)
                             r
     òàíãåíöèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ
                         q&&
     aθ = rθ&& + 2 r&θ& = .                                           (6.5.11)
                          r
     Åñëè ðàäèàëüíóþ è òàíãåíöèàëüíóþ ñîñòàâëÿþùèå ñèëû îáîçíà-
÷èòü ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç           Fr è Fθ , òî ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ íà âèðòó-
àëüíîì ïåðåìåùåíèè, áóäåò ðàâíà
     A = Frδr + Fθ δq                                                 (6.5.12)
è óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ ïðèìóò âèä

             q& 2 
     m &r& − 3  = Fr , mq&& = rF .                                (6.5.13)
                                    θ
             r 
      çàäà÷àõ î äâèæåíèè ïî öåíòðàëüíûì îðáèòàì ñèëîâîå ïîëå ÿâ-

Страницы