Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 156 стр.

156                                                                           Ãëàâà øåñòàÿ

      rr& = xx& + yy& , q& = xy& − yx& .                                            (6.5.2)
      Âîçâåä¸ì óðàâíåíèÿ (6.5.2) â êâàäðàò
      r 2 r& 2 = x 2 x& 2 + 2 xx&yy& + y 2 y& 2 ,
      q& 2 = x 2 y& 2 − 2 xy& yx& + y 2 x& 2
è ñëîæèì, òîãäà
      r 2 r& 2 + q& 2 = (x 2 + y 2 )x& 2 + (x 2 + y 2 )y& 2 = r 2 (x& 2 + y& 2 ),
èëè
      r 2 r& 2 + q& 2 = r 2 (x& 2 + y& 2 ).                                         (6.5.3)
      Äèôôåðåíöèðóÿ ïåðâîå óðàâíåíèå (6.5.2) ïî âðåìåíè, ïîëó÷èì
      r&r& + r& 2 = x&x& + y&y& + x& 2 + y& 2 .                                     (6.5.4)

      Âûðàçèì èç (6.5.3)         x& 2 + y& 2 è ïîäñòàâèì â (6.5.4), ïîñëå ýëåìåíòàð-
íûõ ïðåîáðàçîâàíèé áóäåì èìåòü

                             q& 2
      x&x& + y&y& = r&r& −        .                                                 (6.5.5)
                             r2
      Äèôôåðåíöèðóÿ âòîðîå óðàâíåíèå (6.5.2) ïî âðåìåíè, ïîëó÷èì
      q&& = x&y& + x&y& − y&x& − y& x& = x&y& − y&x& ,
èëè
      x&y& − y&x& = q&& .                                       (6.5.6)
      Âîçâåä¸ì â êâàäðàò (6.5.5) è (6.5.6), ïîñëå ñëîæåíèÿ ïîëó÷èì
                                                    2
                                     q& 2 
      r (&x& + &y& ) = q&& +  r&r& − 2  .
       2    2       2        2
                                                                                    (6.5.7)
                                     r 
      Òåïåðü ìû ìîæåì ñîñòàâèòü ôóíêöèþ Ãèááñà

                            1        q& 2  q&&2 
                                              2

        G = m (&x& + &y& ) = m  &r& − 3  + 2  .
           1      2     2

           2                2         r      r 
                                                    
      Ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê ïðèä¸ì ê ðàâåíñòâó