Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 155 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

155
Óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ
çâîëÿþò ëåãêî ââîäèòü êâàçèêîîðäèíàòû.
Ïðàâèëà ñîñòàâëåíèÿ óðàâíåíèé Ãèááñà-Àïïåëÿ:
1. Îïðåäåëèòü ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû
k
ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ
òî÷åê.
2. Ñîñòàâèòü ñ ïîìîùüþ
k
óñêîðåíèé
r
q
&& âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè
Ãèááñà, íàçûâàåìîé èíîãäà êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé óñêîðåíèé
∑
=
n
r
rr
xm
1
2
2
1
&&
, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì ôóíêöèþ Ãèááñà
G
. Â îáùåì
ñëó÷àå â íå¸ âõîäÿò âñå
n
êîîðäèíàò
r
q
è ñêîðîñòåé
r
q
& , íî âàæíî òî,
÷òîáû â íå¸ âõîäèëè ëèøü
k
âûäåëåííûõ óñêîðåíèé
r
q
&& . Âûäåëåííûå
k
êîîðäèíàò
r
q
ìîãóò áûòü êàê îáîáùåííûå, òàê è êâàçèêîîðäèíàòû,
â çàâèñèìîñòè îò óäîáñòâà.
3. Ñîñòàâèòü âûðàæåíèå äëÿ ðàáîòû çàäàííûõ ñèë íà âèðòóàëü-
íîì ïåðåìåùåíèè â ôîðìå
∑
=
k
i
ii
qQ
1
δ
.
4. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â âèäå (6.4.1) è äîáàâèòü ê íèì
kn −
ãåîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñâÿçè (6.4.2).
5. Èç ñîâîêóïíîé ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îïðåäå-
ëèòü
n
ïåðåìåííûõ
n
qqq
,...,,
21
êàê ôóíêöèé îò
t
.
§6.5. Ïðèëîæåíèÿ óðàâíåíèé Ãèááñà-Àïïåëÿ
1. Ïëîñêîå äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè.
Ðàññìîòðèì ïëîñêîå äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ñ ïîìîùüþ
óðàâíåíèé Ãèááñà-Àïïåëÿ. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü äâèæåíèå â ïîëÿðíûõ
êîîðäèíàòàõ
r
è
θ
.  êà÷åñòâå îáîáù¸ííîé (ëàãðàíæåâîé) êîîðäèíà-
òû âûáåðåì
r
, à â êà÷åñòâå êâàçèêîîðäèíàòû âûáåðåì
q
, ïðè÷¸ì
222
yxr +=
,
ydxxdydq −=
. (6.5.1)
Äèôôåðåíöèðóÿ óðàâíåíèÿ (6.5.1) ïî âðåìåíè, ïîëó÷èì
Óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ                                                      155
çâîëÿþò ëåãêî ââîäèòü êâàçèêîîðäèíàòû.

     Ïðàâèëà ñîñòàâëåíèÿ óðàâíåíèé Ãèááñà-Àïïåëÿ:
     1. Îïðåäåëèòü ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû k ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ
òî÷åê.
       2. Ñîñòàâèòü ñ ïîìîùüþ k óñêîðåíèé             q&&r âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè
Ãèááñà, íàçûâàåìîé èíîãäà “êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé óñêîðåíèé”

1 n
  ∑
2 r =1
       mr &x&r2 , â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì ôóíêöèþ Ãèááñà G .  îáùåì

ñëó÷àå â íå¸ âõîäÿò âñå n êîîðäèíàò              qr è ñêîðîñòåé q&r , íî âàæíî òî,
÷òîáû â íå¸ âõîäèëè ëèøü k âûäåëåííûõ óñêîðåíèé                  q&&r . Âûäåëåííûå
k êîîðäèíàò qr ìîãóò áûòü êàê îáîáùåííûå, òàê è êâàçèêîîðäèíàòû,
â çàâèñèìîñòè îò óäîáñòâà.
     3. Ñîñòàâèòü âûðàæåíèå äëÿ ðàáîòû çàäàííûõ ñèë íà âèðòóàëü-
                               k

íîì ïåðåìåùåíèè â ôîðìå      ∑ Q δq
                              i =1
                                     i   i   .

     4. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â âèäå (6.4.1) è äîáàâèòü ê íèì
n − k ãåîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñâÿçè (6.4.2).
     5. Èç ñîâîêóïíîé ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé îïðåäå-
ëèòü   n ïåðåìåííûõ q1 , q2 ,..., qn êàê ôóíêöèé îò t .

       §6.5. Ïðèëîæåíèÿ óðàâíåíèé Ãèááñà-Àïïåëÿ

     1. Ïëîñêîå äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè.
     Ðàññìîòðèì ïëîñêîå äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ñ ïîìîùüþ
óðàâíåíèé Ãèááñà-Àïïåëÿ. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü äâèæåíèå â ïîëÿðíûõ
êîîðäèíàòàõ r è θ .  êà÷åñòâå îáîáù¸ííîé (ëàãðàíæåâîé) êîîðäèíà-
òû âûáåðåì    r , à â êà÷åñòâå êâàçèêîîðäèíàòû âûáåðåì q , ïðè÷¸ì
       r2 = x2 + y2 ,      dq = xdy − ydx .                              (6.5.1)
       Äèôôåðåíöèðóÿ óðàâíåíèÿ (6.5.1) ïî âðåìåíè, ïîëó÷èì

Страницы