Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 153 стр.

Óðàâíåíèÿ Ãèááñà-Àïïåëÿ                                                              153

    1 N             N
                                      1 N                    1 N
=     ∑ rr ∑
           m &
             x&2
                 +      m  &
                           x&
                          r r ∆&&
                                x r +   ∑    m r (∆&&
                                                    x r )2
                                                           −   ∑    mr &x&r2 −
    2 r =1         r =1               2 r =1                 2 r =1

           k
                           1 N                    N                 k
                                                                        
       − ∑ Qi ∆q&&i =        ∑    mr (∆&&
                                        x r )2
                                               +  ∑ r r r ∑ Qi ∆q&&i  .
                                                        m &
                                                          x& ∆&
                                                              x& −
          i =1             2 r =1                 r −1            i =1 
     Âûðàæåíèå ñòîÿùåå â ñêîáêàõ â ïðàâîé ÷àñòè òîæäåñòâåííî ðàâíî
íóëþ â ñîîòâåòñòâèè ñ ïÿòîé ôîðìîé îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ (6.2.11). Òà-
êèì îáðàçîì ïîëó÷èì

                 k
                         1 N
       ∆ G − ∑ Qi q&&i  = ∑ mr (∆&x&r ) .
                                          2
                                                                                 (6.3.4)
               i =1     2 r =1
                                      r
       Èç (6.3.4) ñëåäóåò, ÷òî åñëè ∆&x& ≠ 0 , òî

               k
                        
       ∆ G − ∑ Qi q&&i  > 0 ,                                                  (6.3.5)
             i =1      
÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó (6.3.3).
     Âî âòîðîé ãëàâå ìû ðàññìîòðåëè ïðèíöèï íàèìåíüøåãî ïðèíóæ-
äåíèÿ Ãàóññà (2.9.1)
                                      2
          1 N           X 
       C = ∑ mr  &x&r − r  .                                                 (2.9.1)
          2 r =1        mr 
       Ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê, ïîëó÷èì

                 1 N             N
                                               1 N X r2
       C=          ∑ rr ∑
                 2 r =1
                        m &
                          x&2
                              −
                                r =1
                                     &
                                     x&r X r +   ∑ .
                                               2 r =1 mr
                                                                                 (6.3.6)

     Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ñ (6.3.3), ìû âèäèì, ÷òî îíî ñ
òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ, íå ñîäåðæàùèõ óñêîðåíèé, ñîâïàäàåò ñ
                 N
       G − ∑ X r &x&r .                                                          (6.3.7)
                 r =1