Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 152 стр.

152                                                                    Ãëàâà øåñòàÿ

ãäå   G2 - îäíîðîäíàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà îò q&&1 , q&&2 ,..., q&&k , G1 - îäíîðîä-
íàÿ ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ îò        q&&1 , q&&2 ,..., q&&k ; à G0 íå çàâèñèò îò qr . Îáû÷íî
G2 ëåãêî íàõîäèòñÿ, òàê êàê êîýôôèöèåíòû çäåñü òå æå, ÷òî è ó êâàäðà-
òè÷íûõ ÷ëåíîâ â âûðàæåíèè (3.1.7) äëÿ T , ïðåäñòàâëåííîì â âèäå ôóí-
êöèè îò q&1 , q& 2 ,..., q& k . ×ëåíû G1 äîëæíû áûòü îïðåäåëåíû íåçàâèñèìî,

à ÷ëåíû    G0 íåñóùåñòâåííû è èõ ìîæíî âîîáùå îïóñòèòü. Íàøà çàäà÷à
ñâîäèòñÿ ê îïðåäåëåíèþ        G1 .
     Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, êîíôèãóðàöèÿ è ñêîðîñ-
òè êîòîðîé çàäàíû â ìîìåíò âðåìåíè t . Íàøà çàäà÷à ñîñòîèò â ïîëó÷å-
íèè óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ óñêîðåíèé ÷àñòèö ñèñòåìû ìàòåðèàëü-
íûõ òî÷åê.
     Ðàññìîòðèì òåîðåìó.

       Óñêîðåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê òàêîâî, ÷òî âûðàæåíèå
              k
       G − ∑ Qi q&&i ,                                                        (6.3.3)
             i =1

ðàññìàòðèâàåìîå êàê ôóíêöèÿ îò          q&&1 , q&&2 ,..., q&&k , èìååò ìèíèìóì.
     Ïðèìåíÿÿ ýòó òåîðåìó, êîîðäèíàòû è ñîñòàâëÿþùèå ñêîðîñòåé
ñëåäóåò ñ÷èòàòü ïîñòîÿííûìè. Òàêèì îáðàçîì, ìû èìååì äåëî ñ êâàäðà-
òè÷íîé ôóíêöèåé ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè.
     Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.
            r
           q&& óñêîðåíèå ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê â äåéñòâèòåëü-
       Ïóñòü

íîì äâèæåíèè, q &r& + ∆q&r& - óñêîðåíèå â ëþáîì äðóãîì âîçìîæíîì äâèæå-
íèè. Òîãäà áóäåò ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî

         k
                   1 N                     1 N             k
∆  G − ∑ Qi q&&i  = ∑ mr (&x&r + ∆&x&r ) − ∑ mr &x&r2 − ∑ Qi ∆q&&i =
                                          2

       i =1       2 r =1                  2 r =1        i =1