Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 176 стр.

176                                                                   Ãëàâà       ñåäüìàÿ


         ∂2S           ∂2S                 ∂2S
                                     ...
       ∂q10∂q11      ∂q10∂q21            ∂q10∂qn1
         ∂2S           ∂2S                 ∂2S         ∂2S
                                     ...           =           ≠ 0 , (7.7.4)
       ∂q20∂q11      ∂q20∂q21            ∂q20∂qn1    ∂qr 0∂qs1
          ...           ...          ...    ...
         ∂2S           ∂2S                 ∂2S
                                     ...
       ∂qn 0∂q11     ∂qn 0∂qn1           ∂qn 0∂qn1

÷òî îáåñïå÷èâàåò íåçàâèñèìîñòü ïåðåìåííûõ                   pr1 è qr 0 , à òàêæå t0 è t1 .
      3. Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ.
                   ∂ (q11 , q21 ,..., qn1 , p11 , p21 ,..., pn1 )
      ßêîáèàí                                                      = +1 .          (7.7.5)
                   ∂ (q10 .q20 ,..., qn 0 , p10 , p20 ,..., pn 0 )
      Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå îò                 (qr 0 , pr 0 ) ê (qr1 , pr1 ) , îñó-
ùåñòâëÿåìîå èíòåãðàëàìè óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà (ïðè ôèêñèðîâàííûõ
t0 è t1 ), îáëàäàþò ñâîéñòâîì ñîõðàíåíèÿ ïðîòÿæ¸ííîñòè (îáú¸ìà, ìåðû)
ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà.
     4. Ñîîòíîøåíèÿ (7.7.1) è (7.7.2) äàþò ðåøåíèå çàäà÷è Ãàìèëüòîíà,
âûðàæàÿ    qr1 è pr1 ÷åðåç 2n ïàðàìåòðîâ qr 0 è pr 0 . Ïðåäïîëîæèì òå-
ïåðü, ÷òî ìû õîòèì ïåðåéòè ê íîâîé ñèñòåìå 2n ïàðàìåòðîâ                             αr ,βr ,
ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé íåçàâèñèìûå ôóíêöèè îò                      qr 0 è pr 0 ñ íåïðåðûâ-
íûìè ïåðâûìè ïðîèçâîäíûìè è óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ
      β r dαr = pr 0 dqr 0                                                         (7.7.6)
(çíàê ñóììèðîâàíèÿ äëÿ êðàòêîñòè îïóùåí).
      Ïåðåõîä îò      (qr 0 , pr 0 ) ê (αr , β r ) íàçûâàåòñÿ êîíòàêòíûì ïðåîá-
ðàçîâàíèåì.
      Ãëàâíàÿ ôóíêöèÿ S , âûðàæåííàÿ ÷åðåç 2 n + 2 ïåðåìåííûõ