Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 179 стр.

Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè                                                179



             Ãëàâà VIII
             Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè
      ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà â ÷àñòíûõ ïðî-
èçâîäíûõ, äîêàæåì òåîðåìó Ãàìèëüòîíà-ßêîáè è ðàññìîòðèì ïðèëî-
æåíèÿ òåîðåìû Ãàìèëüòîíà-ßêîáè. Èçëîæåíèå äàííîãî âîïðîñà ñ òî÷-
êè çðåíèÿ âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ ìîæíî íàéòè â Ïðèëîæåíèè III.

      §8.1. Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ

     Ãëàâíàÿ ôóíêöèÿ èãðàëà áû ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü â èçó÷åíèè
äâèæåíèÿ ñèñòåì ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, åñëè áû å¸ ìîæíî áûëî áû îïðå-
äåëèòü áåç ïðåäâàðèòåëüíîãî çàäàíèÿ èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ. Ïîñòàâèì
ïåðåä ñîáîé çàäà÷ó îòûñêàíèÿ ãëàâíîé ôóíêöèè ñ ïîìîùüþ ïîëíîãî
èíòåãðàëà äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà, êîòîðûé ìû
ïîëó÷èì äàëåå.
     Ñäåëàåì íåñêîëüêî ïðåäâàðèòåëüíûõ çàìå÷àíèé: äëÿ óïðîùåíèÿ
äàëüíåéøèõ ðàññóæäåíèé ïîëîæèì     t0 = 0 ; âìåñòî íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé
êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ (qr 0 , pr 0 ) â êà÷åñòâå ïàðàìåòðîâ, îïðåäåëÿþ-
ùèõ òðàåêòîðèþ â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå, âîçüì¸ì (α r , β r ) . Ýòè âåëè-

÷èíû ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè îò    qr 0 , pr 0 ñ íåïðåðûâíûìè ïåðâûìè ïðîèç-
âîäíûìè, óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ (7.7.6)
     β r dαr = pr 0 dqr 0 .                                        (7.7.6)
     Â ïðåäûäóùåé ãëàâå ìû îïðåäåëÿëè òðàåêòîðèþ ñ ïîìîùüþ íà-
÷àëüíîé è êîíå÷íîé êîîðäèíàò è ìîìåíòàìè âðåìåíè        t0 è t1 . Òåïåðü, â
ñîîòâåòñòâèè ñî ñäåëàííûìè âûøå ïðåäïîëîæåíèÿìè áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
òðàåêòîðèÿ îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíàìè   α r , qr1 , t1 ( t0 ðàâíî íóëþ), à ãëàâ-
íóþ ôóíêöèþ S âûðàçèì ÷åðåç ýòè 2 n + 1 ïåðåìåííûõ. Åñòü ñìûñë
îïóñòèòü èíäåêñ 1 â ñèìâîëàõ    t1 è H1 (ñì. (7.7.7) è (7.7.8)), òàê êàê