Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 181 стр.

Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè                                                     181

      ∂S                     ∂S ∂S         ∂S 
         + H  q1 , q2 ,...,    ,    ,...,    ;t  = 0 ,                (8.1.8)
      ∂t                     ∂q1 ∂q2       ∂qn 
èëè â ñîêðàù¸ííîé çàïèñè

     ∂S      ∂S 
        + H  q, , t  = 0 .                                             (8.1.9)
     ∂t      ∂q 
    Ìû ïîëó÷èëè, òàê íàçûâàåìîå, äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå Ãà-
ìèëüòîíà, ÿâëÿþùååñÿ íåëèíåéíûì óðàâíåíèåì â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ
ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ãëàâíàÿ ôóíêöèÿ S , âûðàæåííàÿ ÷åðåç                  qr , t è n
ïàðàìåòðîâ α r , ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì èíòåãðàëîì ýòîãî óðàâíåíèÿ. Ïîñêîëü-
êó ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ïîëíûõ èíòåãðàëîâ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðî-
èçâîäíûõ, òî íåîáõîäèìî âûÿñíèòü, ìîæíî ëè ñ ïîìîùüþ ëþáîãî ïîë-
íîãî èíòåãðàëà îòûñêàòü ãëàâíóþ ôóíêöèþ? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äà¸ò
òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè.

      §8.2. Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè

     Åñëè
     S = S (q1 , q 2 ,..., q n , α1 ; α 2 ,..., α n ; t ) + α n +1 ,     (8.2.1)
èëè, êîðî÷å,
     S = S (q;α; t )                                     (8.2.2)
ïðåäñòàâëÿåò ïîëíûé èíòåãðàë äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ Ãàìèëü-
òîíà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ

     ∂S      ∂S 
        + H  q, , t  = 0 ,                                             (8.2.3)
     ∂t      ∂q 
òî èíòåãðàëû ãàìèëüòîíîâûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ äàþòñÿ ñîîòíîøå-
íèÿìè
     ∂S
         = −β r , r = 1,2,..., n ,                                       (8.2.4)
     ∂αr