Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 183 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

183
Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè
ïîëíûé èíòåãðàë (8.2.2) è, äèôôåðåíöèðóÿ ïîëó÷åííîå òîæäåñòâî ïî
1
α ,
íàõîäèì
0
1
1
2
1
2
=
∂
∂
∂α∂
∂
+
∂α∂
∂
∑
=
n
r
rr
p
H
q
S
t
S
. (8.2.9)
Çàìåòèì, òàê æå, ÷òî óðàâíåíèå (8.2.4)
1
1
β−=
α∂
∂S
(8.2.10)
òîæäåñòâåííî óäîâëåòâîðÿþòñÿ, åñëè âìåñòî
r
q
ïîäñòàâèòü èõ çíà÷å-
íèÿ èç (8.2.7). Ïîñëå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ ïî t ,
ïîëó÷èì
∑
=
=
∂
∂
α∂∂
∂
+
∂α∂
∂
n
r
r
r
t
q
q
S
t
S
1
1
2
1
2
0
. (8.2.11)
Îòìåòèì, ÷òî ïîä ñèìâîëîì
t
q
r
∂
∂
ïîíèìàåòñÿ ñêîðîñòü (âìåñòî
îáîçíà÷åíèÿ
dt
dq
r
). Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî
r
q
çàâèñèò íå òîëüêî îò t , íî
è îò ïàðàìåòðîâ
r
α è
r
β . Òàêèì îáðàçîì ìû òåïåðü ðàññìàòðèâàåì
íå îòäåëüíóþ êîíêðåòíóþ òðàåêòîðèþ, à ñîâîêóïíîñòü òðàåêòîðèé. Òàê
êàê
2
CS ∈ , òî
1
2
1
2
α∂∂
∂
=
∂α∂
∂
t
S
t
S
,
1
2
1
2
α∂∂
∂
=
∂α∂
∂
rr
q
S
q
S
. (8.2.12)
Âû÷èòàÿ èç óðàâíåíèÿ (8.2.11) óðàâíåíèå (8.2.9), ïîëó÷èì
∑
=
=
∂
∂
−
∂
∂
α∂∂
∂
n
r
r
r
r
p
H
t
q
q
S
1
1
2
0
. (8.2.13)
Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè                                                183

ïîëíûé èíòåãðàë (8.2.2) è, äèôôåðåíöèðóÿ ïîëó÷åííîå òîæäåñòâî ïî         α1 ,
íàõîäèì

        ∂2S    n
                   ∂ 2 S ∂H
            +∑               = 0.                                   (8.2.9)
       ∂α1∂t r =1 ∂α1∂qr ∂pr
      Çàìåòèì, òàê æå, ÷òî óðàâíåíèå (8.2.4)
       ∂S
           = −β1                                                    (8.2.10)
       ∂α1
òîæäåñòâåííî óäîâëåòâîðÿþòñÿ, åñëè âìåñòî   qr ïîäñòàâèòü èõ çíà÷å-
íèÿ èç (8.2.7). Ïîñëå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ ïî t ,
ïîëó÷èì

        ∂2S    n
                   ∂ 2 S ∂qr
            +∑               =0.                                    (8.2.11)
       ∂α1∂t r =1 ∂qr ∂α1 ∂t
                                         ∂qr
      Îòìåòèì, ÷òî ïîä ñèìâîëîì              ïîíèìàåòñÿ ñêîðîñòü (âìåñòî
                                          ∂t
                 dqr
îáîçíà÷åíèÿ          ). Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî qr çàâèñèò íå òîëüêî îò t , íî
                  dt
è îò ïàðàìåòðîâ α r è β r . Òàêèì îáðàçîì ìû òåïåðü ðàññìàòðèâàåì
íå îòäåëüíóþ êîíêðåòíóþ òðàåêòîðèþ, à ñîâîêóïíîñòü òðàåêòîðèé. Òàê
êàê   S ∈ C2 , òî
        ∂2S   ∂2S             ∂2S    ∂2S
            =      ,               =        .                       (8.2.12)
       ∂α1∂t ∂t∂α1           ∂α1∂qr ∂qr ∂α1
      Âû÷èòàÿ èç óðàâíåíèÿ (8.2.11) óðàâíåíèå (8.2.9), ïîëó÷èì
        n
              ∂ 2 S  ∂qr ∂H 
       ∑ ∂q ∂α           −      = 0.                              (8.2.13)
       r =1    r   1  ∂t   ∂pr 

Страницы