Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 185 стр.

Òåîðåìà Ãàìèëüòîíà-ßêîáè                                                      185
      Î÷åâèäíî, ÷òî òàêèõ óðàâíåíèé áóäåò           n
       ∂pr    ∂H
           =−     ,           r = 1,2,..., n .                           (8.2.20)
        ∂t    ∂qr
     Óðàâíåíèÿ (8.2.14) è (8.2.20) ïîêàçûâàþò, ÷òî ôóíêöèè pr è qr ,
îïðåäåëÿåìûå ñîîòíîøåíèÿìè (8.2.7) è (8.2.8), óäîâëåòâîðÿþò óðàâíå-
íèÿì Ãàìèëüòîíà
       ∂qr ∂H ∂pr      ∂H
          =    ,    =−     ,                 r = 1,2,..., n              (8.2.21)
        ∂t ∂pr   ∂t    ∂qr
ïðè ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ α r è β r , ÷òî äîêàçûâàåò òåîðåìó Ãàìèëü-
òîíà-ßêîáè, èìåþùóþ ôóíäàìåíòàëüíîå çíà÷åíèå êàê äëÿ òåîðèè, òàê
è äëÿ ïðèëîæåíèé. Ðàíåå, èññëåäóÿ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó ìàòåðèàëü-
íûõ òî÷åê êàêîãî-ëèáî ÷àñòíîãî âèäà, ìû ñîñòàâëÿëè óðàâíåíèÿ äâèæå-
íèÿ, ïîñëå ÷åãî çàäà÷à ñâîäèëàñü ê èíòåãðèðîâàíèþ ýòèõ óðàâíåíèé. Â
ìåòîäå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè äîñòàòî÷íî íàéòè îäèí ïîëíûé èíòåãðàë
óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ è ñðàçó ìîæíî íàïèñàòü
èíòåãðàëû óðàâíåíèé äâèæåíèÿ (8.2.14) è (8.2.20). Òàêèì îáðàçîì, çàäà-
÷à ñâîäèòñÿ ê îòûñêàíèþ ïîëíîãî èíòåãðàëà.
     Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå êëàññû ñèñòåì ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, äëÿ
êîòîðûõ çàäà÷à îòûñêàíèÿ ïîëíîãî èíòåãðàëà óïðîùàåòñÿ.
      1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèè               L è H íå çàâèñÿò îò t , òî åñòü
       H = H (q1 , q2 ,..., qn ; p1 , p2 ,..., pn ) = H (q; p ) ,         (8.2.22)
è ñóùåñòâóåò ïîëíûé èíòåãðàë ýíåðãèè
      H = h.                                                             (8.2.23)
      Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïîëíîãî èíòåãðàëà ïîëîæèì, ÷òî
       S = − ht + K ,                                                    (8.2.24)
ãäå   h = α1 - îäíà èç ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ, à K - ôóíêöèÿ îò
(q1 , q2 ,..., qn ) , â êîòîðóþ âõîäÿò   h è n − 1 äðóãèõ ïðîèçâîëüíûõ ïî-
ñòîÿííûõ    α2 , α3 ,..., αn . Óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ
ìû òåïåðü ìîæåì çàïèñàòü òàê: