Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 184 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

184
Ãëàâà âîñüìàÿ
Äëÿ n ïàðàìåòðîâ
n
ααα ,...,,
21
áóäåì èìåòü n òàêèõ óðàâíåíèé.
Òàê êàê â ñîîòâåòñòâèè ñ (8.2.6) îïðåäåëèòåëü èç êîýôôèöèåíòîâ
1
2
α∂∂
∂
r
q
S
íå ðàâåí íóëþ, ìû ìîæåì íàïèñàòü, ÷òî
r
r
p
H
t
q
∂
∂
=
∂
∂
, nr ,...,2,1= . (8.2.14)
Ïîäñòàâëÿÿ ïîëíûé èíòåãðàë â óðàâíåíèå (8.2.3) è äèôôåðåíöèðóÿ
ïîëó÷åííîå òîæäåñòâî ïî
1
q , ïîëó÷èì
∑
=
=
∂
∂
∂∂
∂
+
∂
∂
+
∂∂
∂
n
r
rr
p
H
qq
S
q
H
tq
S
1
1
2
11
2
0
. (8.2.15)
Óðàâíåíèå
1
1
p
q
S
=
∂
∂
(8.2.16)
ïðåâðàùàåòñÿ â òîæäåñòâî, åñëè âìåñòî
1
p è
r
q
ïîäñòàâèòü èõ âûðàæå-
íèÿ ÷åðåç
r
α ,
r
β è t . Ïðîäåëàâ ýòî è ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ðåçóëüòàò
ïî t , ïîëó÷èì
∑
=
∂
∂
∂∂
∂
+
∂∂
∂
=
∂
∂
n
r
r
r
t
q
qq
S
qt
S
t
p
1
1
2
1
2
1
. (8.2.17)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
1
2
1
2
qt
S
tq
S
∂∂
∂
=
∂∂
∂
,
1
2
1
2
qq
S
qq
S
rr
∂∂
∂
=
∂∂
∂
, (8.2.18)
ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé (8.2.14) è (8.2.15) óðàâíåíèå (8.2.17) çàïèøåì â
âèäå
1
1
q
H
t
p
∂
∂
−=
∂
∂
. (8.2.19)
184                                                   Ãëàâà    âîñüìàÿ

      Äëÿ   n ïàðàìåòðîâ α1 , α2 ,..., αn áóäåì èìåòü n òàêèõ óðàâíåíèé.

                                                                ∂2S
Òàê êàê â ñîîòâåòñòâèè ñ (8.2.6) îïðåäåëèòåëü èç êîýôôèöèåíòîâ
                                                               ∂qr ∂α1
íå ðàâåí íóëþ, ìû ìîæåì íàïèñàòü, ÷òî
      ∂qr ∂H
          =     , r = 1,2,..., n .                              (8.2.14)
       ∂t   ∂pr
      Ïîäñòàâëÿÿ ïîëíûé èíòåãðàë â óðàâíåíèå (8.2.3) è äèôôåðåíöèðóÿ
ïîëó÷åííîå òîæäåñòâî ïî     q1 , ïîëó÷èì
       ∂ 2 S ∂H   n
                      ∂ 2 S ∂H
            +   +∑              = 0.                            (8.2.15)
      ∂q1∂t ∂q1 r =1 ∂q1∂qr ∂pr
      Óðàâíåíèå
      ∂S
          = p1                                                  (8.2.16)
      ∂q1
ïðåâðàùàåòñÿ â òîæäåñòâî, åñëè âìåñòî      p1 è qr ïîäñòàâèòü èõ âûðàæå-
íèÿ ÷åðåç   α r , β r è t . Ïðîäåëàâ ýòî è ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ðåçóëüòàò
ïî t , ïîëó÷èì

      ∂p1   ∂2S  n
                     ∂ 2 S ∂qr
          =     +∑             .                                (8.2.17)
      ∂t ∂t∂q1 r =1 ∂qr ∂q1 ∂t
      Ó÷èòûâàÿ, ÷òî

       ∂2S   ∂2S                  ∂2S    ∂2S
           =      ,                    =        ,               (8.2.18)
      ∂q1∂t ∂t∂q1                ∂q1∂qr ∂qr ∂q1
ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé (8.2.14) è (8.2.15) óðàâíåíèå (8.2.17) çàïèøåì â
âèäå
      ∂p1    ∂H
          =−     .                                              (8.2.19)
      ∂t     ∂q1

Страницы