Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 182 стр.

182                                                      Ãëàâà     âîñüìàÿ

      ∂S
          = pr ,      r = 1,2,..., n ,                              (8.2.5)
      ∂qr
ãäå ÷åðåç   β r îáîçíà÷åíû n íîâûõ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ.
      Óðàâíåíèÿ (8.2.4) è (8.2.5) îïðåäåëÿþò    pr è qr êàê ôóíêöèè îò t ,
çàâèñÿùèå åù¸ îò 2n ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ    α r è β r . Óðàâíåíèÿ
(8.2.4) äàþò ðåøåíèå çàäà÷è Ëàãðàíæà: îïðåäåëÿþò äâèæåíèå â q -ïðî-
ñòðàíñòâå. Óðàâíåíèÿ (8.2.4) ñîâìåñòíî ñ (8.2.5) äàþò ðåøåíèå çàäà÷è
Ãàìèëüòîíà, òî åñòü îïðåäåëÿþò äâèæåíèå â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå.
      Ïîëíûé èíòåãðàë åñòü ôóíêöèÿ êëàññà       C2 , ñîäåðæàùàÿ n ïðîèç-
âîëüíûõ ïîñòîÿííûõ         α1 , α2 ,..., αn (à òàêæå àääèòèâíóþ ïîñòîÿííóþ
αn +1 ), ïðè÷¸ì îïðåäåëèòåëü

        ∂2S
                ,                                                   (8.2.6)
       ∂qr ∂α s

                                                        ∂2S
ýëåìåíò     r -ñòðîêè è s -ãî ñòîëáöà êîòîðîãî ðàâåí            , íèãäå â îá-
                                                       ∂qr ∂α s
ëàñòè èçìåíåíèÿ pr è qr íå îáðàùàåòñÿ â íóëü.
     Äîêàæåì, ÷òî ôóíêöèè
      qr = qr (α;β; t ),                                            (8.2.7)

      pr = pr (α;β; t ),                                     (8.2.8)
ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé (8.2.4) è (8.2.5), óäîâëåòâîðÿþò óðàâ-
íåíèÿì Ãàìèëüòîíà ïðè ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ           α r è β r , èëè ïðè èõ
ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿõ â íåêîòîðîé îáëàñòè        (α;β ).
      Ôóíêöèÿ S óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (8.2.3) ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ
qr ,αr , t â ñîîòâåòñòâóþùåé îáëàñòè. Ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå (8.2.3)