Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 212 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

212
Ãëàâà äåâÿòàÿ
Ðåøåíèå .
Äâèæåíèå êàæäîé òî÷êè ñèñòåìû
ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ ðàäèóñ-âåêòî-
ðà
() ()
jtaitar
rr
r
ϕ+ω+ϕ+ω=
cossin ,
õàðàêòåðèçóþùåãî ñîñòîÿíèå ñèñòåìû
ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ñ òå÷åíèåì âðåìå-
íè ðàäèóñ-âåêòîð êàæäîé òî÷êè ñèñòåìû
ïîâåðí¸òñÿ íà îäèí è òîò æå óãîë. Òàêèì
îáðàçîì, ëþáàÿ ôèãóðà ïðîñòî ïîâåðí¸ò-
ñÿ, íå èçìåíÿÿ ñâîåé ôîðìû è, ñëåäîâà-
òåëüíî, ïëîùàäè.
Ïðèìåð 2.
Ïðîàíàëèçèðîâàòü ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðåìû Ëèóâèëëÿ äâèæåíèå ñè-
ñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ïîä äåéñòâèåì ïîñòîÿííîé ñèëû, çàäàííîå
óðàâíåíèÿìè:
p
dt
dq
= ,
2
2
00
gt
tpqq −+= ,
q
dt
dp
−= , gtpp −=
0
.
Ðåøåíèå .
Âûäåëèì â ìîìåíò âðåìåíè
0=t
íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè êâàäðàò
(ñì. ðèñ.21) îãðàíè÷åííûé òî÷êàìè:
A:
00
,
pq ; B:
()
00
,
paq
+
; C:
()
apq
+
00
,
; D:
()()
apaq
++
00
,
.
Ôàçîâûé îáú¸ì êâàäðàòà â ìîìåíò âðåìåíè 0=t áóäåò
2
aV = .
 ìîìåíò âðåìåíè
1
t òî÷êè A,B,C,D áóäóò èìåòü äðóãèå êîîðäèíàòû íà
ôàçîâîé ïëîñêîñòè, à èìåííî:
A:
2
2
1
1001
gt
tpqq
A
−+= ,
101
gtpp
A
−= ;
p
q
Ðèñ. 20.
212                                                                     Ãëàâà       äåâÿòàÿ
    Ðåøåíèå .
    Äâèæåíèå êàæäîé òî÷êè ñèñòåìû p
ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ ðàäèóñ-âåêòî-
    r                         r                       r           123456
                                                                  123456
ðà r = a sin (ωt + ϕ )i + a cos(ωt + ϕ) j ,                       123456
õàðàêòåðèçóþùåãî ñîñòîÿíèå ñèñòåìû
ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Ñ òå÷åíèåì âðåìå-
íè ðàäèóñ-âåêòîð êàæäîé òî÷êè ñèñòåìû                                                      q
ïîâåðí¸òñÿ íà îäèí è òîò æå óãîë. Òàêèì                                123456
                                                                       123456
                                                                       123456
                                                                       123456
îáðàçîì, ëþáàÿ ôèãóðà ïðîñòî ïîâåðí¸ò-                                 123456
ñÿ, íå èçìåíÿÿ ñâîåé ôîðìû è, ñëåäîâà-
                                                                             Ðèñ. 20.
òåëüíî, ïëîùàäè.

        Ïðèìåð 2.

     Ïðîàíàëèçèðîâàòü ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðåìû Ëèóâèëëÿ äâèæåíèå ñè-
ñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ïîä äåéñòâèåì ïîñòîÿííîé ñèëû, çàäàííîå
óðàâíåíèÿìè:

        dq                                   gt 2
           = p,             q = q0 + p 0 t −      ,
        dt                                    2
        dp
           = −q ,           p = p0 − gt .
        dt

        Ðåøåíèå .
      Âûäåëèì â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè êâàäðàò
(ñì. ðèñ.21) îãðàíè÷åííûé òî÷êàìè:
        A: q 0 , p 0 ; B:   (q0 + a ), p0 ;   C:   q 0 , ( p0 + a ); D: (q0 + a ), ( p0 + a ) .
        Ôàçîâûé îáú¸ì êâàäðàòà â ìîìåíò âðåìåíè                     t = 0 áóäåò V = a 2 .
 ìîìåíò âðåìåíè t1 òî÷êè A,B,C,D áóäóò èìåòü äðóãèå êîîðäèíàòû íà
ôàçîâîé ïëîñêîñòè, à èìåííî:

                                    gt12
        A:   q1A = q 0 + p0 t1 −         , p1 = p 0 − gt1 ;
                                             A

                                     2

Страницы