Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 210 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

210
Ãëàâà äåâÿòàÿ
() ()
∂
∂
+
∂
∂
=
y
y
x
x
D
dt
dD
&&
, (9.4.18)
à (9.4.16) ñ ó÷åòîì (9.4.10) ïðèìåò âèä
() () () () ()
ρ
∂
∂
+ρ
∂
∂
=
ρ
∂
∂
+ρ
∂
∂
=ρ
Q
y
P
x
Dy
y
x
x
DD
dt
d
&&
.
(9.4.19)
Òàê êàê
0≠D
, òî (9.4.13) ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ
() ()
0
=ρ
∂
∂
+ρ
∂
∂
Q
y
P
x
, (9.4.20)
êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëüíîãî èíâàðèàíòà.
§9.5. Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ
Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà âñåãäà äîïóñêàþò èíòåãðàëüíûé èíâàðè-
àíò ñ ïîñòîÿííîé ôàçîâîé ïëîòíîñòüþ (êîòîðóþ, íå íàðóøàÿ îáùíîñ-
òè, ìîæíî ïîëîæèòü ðàâíîé åäèíèöå). Ïîëàãàÿ â óðàâíåíèÿõ (9.4.10)
qx = ,
py =
, ïîëó÷èì:
()
p
H
pqPqx
∂
∂
===
,
&&
,
()
q
H
pqQpy
∂
∂
−===
,
&&
. (9.5.1)
Ïîëàãàÿ â (9.4.20) 1=ρ è ó÷èòûâàÿ (9.5.1), ïîëó÷èì:
0≡
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
q
H
pp
H
q
, (9.5.2)
â ñèëó ïåðåñòàíîâî÷íîñòè ïîðÿäêà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.
Òàêèì îáðàçîì, ôàçîâàÿ ïëîùàäü («äâóìåðíûé ôàçîâûé îáú¸ì»)
ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíûì èíâàðèàíòîì äëÿ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà. Ýòî
óòâåðæäåíèå, âïåðâûå äîêàçàííîå Ëèóâèëëåì, íîñèò íàçâàíèå òåîðåìû
Ëèóâèëëÿ.
210                                                           Ãëàâà   äåâÿòàÿ

             ∂       ∂      
         = D  (x& ) + ( y& ) ,
      dD
                                                                      (9.4.18)
      dt      ∂x     ∂y 
à (9.4.16) ñ ó÷åòîì (9.4.10) ïðèìåò âèä

      d
         (ρD ) = D ∂ (ρx& ) + ∂ (ρy& ) = D ∂ (ρP ) + ∂ (ρQ ) .
      dt            ∂x         ∂y             ∂x        ∂y      
(9.4.19)
      Òàê êàê D ≠ 0 , òî (9.4.13) ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ
      ∂
         (ρP ) + ∂ (ρQ ) = 0 ,                                        (9.4.20)
      ∂x         ∂y
êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëüíîãî èíâàðèàíòà.


       §9.5. Òåîðåìà Ëèóâèëëÿ

      Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà âñåãäà äîïóñêàþò èíòåãðàëüíûé èíâàðè-
àíò ñ ïîñòîÿííîé ôàçîâîé ïëîòíîñòüþ (êîòîðóþ, íå íàðóøàÿ îáùíîñ-
òè, ìîæíî ïîëîæèòü ðàâíîé åäèíèöå). Ïîëàãàÿ â óðàâíåíèÿõ (9.4.10)
 x = q , y = p , ïîëó÷èì:
                             ∂H                               ∂H
      x& = q& = P(q, p ) =      ,    y& = p& = Q(q, p ) = −      .    (9.5.1)
                             ∂p                               ∂q
      Ïîëàãàÿ â (9.4.20)     ρ = 1 è ó÷èòûâàÿ (9.5.1), ïîëó÷èì:
       ∂  ∂H  ∂  ∂H 
                + −       ≡ 0,                                    (9.5.2)
      ∂q  ∂p  ∂p  ∂q 
â ñèëó ïåðåñòàíîâî÷íîñòè ïîðÿäêà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.
     Òàêèì îáðàçîì, ôàçîâàÿ ïëîùàäü («äâóìåðíûé ôàçîâûé îáú¸ì»)
ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíûì èíâàðèàíòîì äëÿ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà. Ýòî
óòâåðæäåíèå, âïåðâûå äîêàçàííîå Ëèóâèëëåì, íîñèò íàçâàíèå òåîðåìû
Ëèóâèëëÿ.

Страницы