Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 209 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

209
Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà
00
00
00
,
,
y
y
x
y
y
x
x
x
yx
yx
D
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
, (9.4.14)
òàê êàê
()
000
,,
yxttxx
−=
è
()
000
,,
yxttyy
−=
.
Ïîñëå ïåðåõîäà ê íîâûì ïåðåìåííûì, ïîëó÷èì:
() ( )
()
()
()
00
00
0
,
,
,,
dydx
yx
yx
DyxdxdyyxtI
tVtV
∫∫∫∫
ρ=ρ=
. (9.4.15)
Òàê êàê òåïåðü îáëàñòü, íà êîòîðóþ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ èíòåãðèðî-
âàíèå, íå çàâèñèò îò âðåìåíè, òî äèôôåðåíöèðîâàíèå ìîæíî ïðîèçâåñ-
òè ïîä çíàêîì èíòåãðàëà è òàê êàê 0=
dt
dI
, òî íåîáõîäèìûì óñëîâèåì
ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëüíîãî èíâàðèàíòà ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå:
()
0
=ρ
D
dt
d
. (9.4.16)
Ïîäñòàâèì â
00
00
00
00
y
y
x
y
y
x
x
x
y
y
x
y
y
x
x
x
dt
dD
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
&&
&&
, (9.4.17)
âûðàæåíèÿ òèïà
000
x
y
y
x
x
x
x
x
x
x
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
&&&
è òàê äàëåå, ðàññìàòðèâàÿ x
&
è y
&
êàê ôóíêöèè x è y , ñîãëàñíî óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ, à x è y - êàê
ôóíêöèè
000
,,
yxtt − . Òîãäà (9.4.17) ìîæíî áóäåò çàïèñàòü òàê:
Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà                                                            209

                         ∂x        ∂x
          x, y  ∂x0              ∂y0
       D           =               ,                                    (9.4.14)
          x0 , y 0  ∂y           ∂y
                         ∂x0       ∂y0


òàê êàê   x = x(t − t 0 , x0 , y0 ) è y = y (t − t 0 , x0 , y 0 ).
       Ïîñëå ïåðåõîäà ê íîâûì ïåðåìåííûì, ïîëó÷èì:

                                                      x, y 
       I (t ) =   ∫∫( )ρ(x, y )dxdy = ∫∫( )ρ(x, y )D x , ydx0 dy 0 .   (9.4.15)
                  V t                V t0              0   0 

     Òàê êàê òåïåðü îáëàñòü, íà êîòîðóþ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ èíòåãðèðî-
âàíèå, íå çàâèñèò îò âðåìåíè, òî äèôôåðåíöèðîâàíèå ìîæíî ïðîèçâåñ-
                                               dI
òè ïîä çíàêîì èíòåãðàëà è òàê êàê                 = 0 , òî íåîáõîäèìûì óñëîâèåì
                                               dt
ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëüíîãî èíâàðèàíòà ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå:
       d
          (ρD ) = 0 .                                                       (9.4.16)
       dt
      Ïîäñòàâèì â

            ∂x&           ∂x&   ∂x          ∂x
       dD ∂x0             ∂y0 ∂x0           ∂y 0
          =                   +                  ,                          (9.4.17)
       dt   ∂y            ∂y    ∂y&         ∂y&
            ∂x0           ∂y0 ∂x0           ∂y 0

                        ∂x& ∂x& ∂x ∂x& ∂y
âûðàæåíèÿ òèïà             =      +       è òàê äàëåå, ðàññìàòðèâàÿ x&
                        ∂x0 ∂x ∂x0 ∂y ∂x0
è   y& êàê ôóíêöèè x è y , ñîãëàñíî óðàâíåíèÿì äâèæåíèÿ, à x è y - êàê
ôóíêöèè     t − t 0 , x0 , y 0 . Òîãäà (9.4.17) ìîæíî áóäåò çàïèñàòü òàê:

Страницы