Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 207 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

207
Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà
∫∫∫ ∫∫∫
ρ=ρ
FF
dzdydxdxdydz
0
000
, (9.4.5)
èëè
∫∫∫
ρ
dxdydz åñòü èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò, à ýêâèâàëåíòíîå âûðà-
æåíèå (óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè) çàïèøåòñÿ êàê
() () ()
0
=
ρ
+
ρ
+
ρ
dz
wd
dy
vd
dx
ud
. (9.4.6)
Îòâëåêàÿñü îò êîíêðåòíîãî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà, ìû ìîæåì ðàñ-
ñìîòðåòü íåêîòîðóþ êîíôèãóðàöèþ òî÷åê
0
F , ïåðåõîäÿùèõ ñ òå÷åíèåì
âðåìåíè â êîíôèãóðàöèþ F , êîòîðàÿ áóäåò ëèíèåé, ïîâåðõíîñòüþ èëè
îáú¸ìîì â çàâèñèìîñòè îò òîãî, áóäåò ëè ñàìà èñõîäíàÿ êîíôèãóðàöèÿ
0
F ëèíèåé, ïîâåðõíîñòüþ èëè îáú¸ìîì. Äëÿ êàæäîãî èç ñëó÷àåâ ìû
ìîæåì çàïèñàòü èíòåãðàëüíûå èíâàðèàíòû âèäà
()
∫
++
cdzBdyAdx , (9.4.7)
()
∫∫
′
+
′
+
′
dxdyCdxdzBdydzA , (9.4.8)
()
∫∫∫
dxdydzzyxM ,, . (9.4.9)
Î÷åâèäíî, ÷òî íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà ðàñïðîñòðàíèòü èçëîæåííûé
âûøå ìåòîä è íà
n
èçìåðåíèé.
Íàéä¸ì íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëüíîãî èí-
âàðèàíòà.
Ïóñòü äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê îïðåäåëÿåòñÿ
óðàâíåíèÿìè îáùåãî âèäà:
()
yxP
dt
dx
,
=
,
()
yxQ
dt
dy
,
=
. (9.4.10)
Òðàåêòîðèè íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ëè-
íèè òîêà ïðè ñòàöèîíàðíîì (êîãäà ñêîðîñòü è ïëîòíîñòü â êàæäîé äàí-
íîé òî÷êå íå çàâèñèò îò âðåìåíè) òå÷åíèè íåêîòîðîé äâóìåðíîé æèäêî-
Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà                                                     207


       ∫∫∫ ρdxdydz = ∫∫∫ ρdx dy dz
        F                F0
                                  0   0   0   ,                      (9.4.5)


èëè   ∫∫∫ ρdxdydz åñòü èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò, à ýêâèâàëåíòíîå âûðà-
æåíèå (óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè) çàïèøåòñÿ êàê
       d (ρu ) d (ρv ) d (ρw )
              +       +        = 0.                                  (9.4.6)
         dx      dy      dz
      Îòâëåêàÿñü îò êîíêðåòíîãî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà, ìû ìîæåì ðàñ-
ñìîòðåòü íåêîòîðóþ êîíôèãóðàöèþ òî÷åê             F0 , ïåðåõîäÿùèõ ñ òå÷åíèåì
âðåìåíè â êîíôèãóðàöèþ F , êîòîðàÿ áóäåò ëèíèåé, ïîâåðõíîñòüþ èëè
îáú¸ìîì â çàâèñèìîñòè îò òîãî, áóäåò ëè ñàìà èñõîäíàÿ êîíôèãóðàöèÿ
F0 ëèíèåé, ïîâåðõíîñòüþ èëè îáú¸ìîì. Äëÿ êàæäîãî èç ñëó÷àåâ ìû
ìîæåì çàïèñàòü èíòåãðàëüíûå èíâàðèàíòû âèäà

       ∫ (Adx + Bdy + cdz ),                                         (9.4.7)


       ∫∫ (A′dydz + B′dxdz + C ′dxdy ),                              (9.4.8)


       ∫∫∫ M (x, y, z )dxdydz .                                      (9.4.9)
    Î÷åâèäíî, ÷òî íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà ðàñïðîñòðàíèòü èçëîæåííûé
âûøå ìåòîä è íà n èçìåðåíèé.

     Íàéä¸ì íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëüíîãî èí-
âàðèàíòà.
     Ïóñòü äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê îïðåäåëÿåòñÿ
óðàâíåíèÿìè îáùåãî âèäà:

          = P(x, y ) ,           = Q(x, y ) .
       dx                     dy
                                                                     (9.4.10)
       dt                     dt
     Òðàåêòîðèè íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ëè-
íèè òîêà ïðè ñòàöèîíàðíîì (êîãäà ñêîðîñòü è ïëîòíîñòü â êàæäîé äàí-
íîé òî÷êå íå çàâèñèò îò âðåìåíè) òå÷åíèè íåêîòîðîé äâóìåðíîé æèäêî-

Страницы