Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 205 стр.

Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà                                                   205


        §9.4. Èíòåãðàëüíûå èíâàðèàíòû

     Ïîíÿòèå èíòåãðàëüíûõ èíâàðèàíòîâ áûëî ââåäåíî Ïóàíêàðå â 1890
ãîäó â ðàáîòå «Íîâûå ìåòîäû íåáåñíîé ìåõàíèêè».
     Äëÿ ïîíèìàíèÿ ïðîèñõîæäåíèÿ è ñìûñëà ïîíÿòèÿ èíòåãðàëüíûõ
èíâàðèàíòîâ âîñïîëüçóåìñÿ ïðèìåðîì, ïðèâåä¸ííûì Ïóàíêàðå â óêà-
çàííîé âûøå ðàáîòå.
     Ðàññìîòðèì ïîòîê íåñæèìàåìîé æèäêîñòè, ãäå ÷åðåç u, v , w îáî-
çíà÷èì êîìïîíåíòû ñêîðîñòè ìîëåêóëû æèäêîñòè, èìåþùåé â ìîìåíò
âðåìåíè t êîîðäèíàòû x, y , z . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèè u, v, w çà-
äàíû è â îáùåì ñëó÷àå çàâèñÿò îò t , x, y , z . Åñëè   u, v, w íå çàâèñÿò îò
t , áóäåì ñ÷èòàòü äâèæåíèå ïîòîêà æèäêîñòè óñòàíîâèâøèìñÿ.
    Äëÿ òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ ëþáîé ìîëåêóëû â óñòàíîâèâøèìñÿ äâè-
æåíèè ìû ìîæåì íàïèñàòü
        dx dy dz
          +   +   = 0.                                             (9.4.1)
        u   v   w
    Äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ (9.4.1) ìû ìîãëè áû âîñïîëüçîâàòüñÿ âûðà-
æåíèÿìè

       x = ϕ1 (t , x0 , y0 , z0 ), 
                                    
       y = ϕ2 (t , x0 , y0 , z0 ),                                (9.4.2)
       z = ϕ3 (t , x0 , y0 , z0 ), 
òàê, ÷òî    x, y, z áûëè áû âûðàæåíû ÷åðåç âðåìÿ t è èõ íà÷àëüíûå çíà÷å-
íèÿ   x0 , y 0 , z 0 .
    Çíàÿ íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå ìîëåêóëû, ìû ìîãëè áû îïðåäåëÿòü å¸
ïîëîæåíèå äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè t .
    Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî ìîëåêóë æèäêîñòè, îáðàçóþùèõ â íà÷àëü-
íûé ìîìåíò âðåìåíè           t0 íåêîòîðóþ êîíôèãóðàöèþ F0 . Ñ òå÷åíèåì âðå-
ìåíè êîíôèãóðàöèÿ           F0 , äåôîðìèðóÿñü íåïðåðûâíûì, îáðàçîì ïåðåé-
ä¸ò â íîâóþ êîíôèãóðàöèþ                F.