Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 203 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

203
Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà
ñîîòâåòñòâóåò öèêëè÷åñêîé êîîðäèíàòå
1
q è ïóñòü
()
tpppqqqHH
nn
,,...,,,,...,
2132
=
. (9.3.1)
 òàêîì ñëó÷àå âåëè÷èíà
1
p ñîõðàíÿåò ñâîþ âåëè÷èíó â ïðîöåññå
äâèæåíèÿ
β=
1
p . (9.3.2)
Ñèñòåìà
n2
óðàâíåíèé ïðèâîäèòñÿ ê ãàìèëüòîíîâîé ôîðìå ñ
()
12
−
n ïåðåìåííûìè:
dt
q
H
dp
q
H
dp
p
H
dq
p
H
dq
==
∂
′
∂
=
∂
′
∂
==
∂
′
∂
=
∂
′
∂
......
3
3
2
2
3
3
2
2
. (9.3.3)
Ôóíêöèÿ H
′
ïîëó÷àåòñÿ èç (9.3.1), åñëè â íåé ïîëîæèòü β=
1
p .
Åù¸ îäíî óðàâíåíèå ìû ïîëó÷èì èç ñîîòíîøåíèÿ
∫
β∂
′
∂
=
dt
H
q
1
. (9.3.4)
Åñëè ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé, òî äëÿ
ïîíèæåíèÿ ïîðÿäêà ñèñòåìû óðàâíåíèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü èíòåãðàë
ýíåðãèè
()
hpppqqqHH
nn
==
,...,,,,...,
2121
. (9.3.5)
Ðàçðåøèì óðàâíåíèå (9.3.5) îòíîñèòåëüíî
1
q (êîîðäèíàòà
1
q íå
ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé)
()
132321
,,,...,,,,...,,
phpppqqqq
nn
ϕ=
. (9.3.6)
Ïîäñòàâëÿÿ (9.3.6) â (9.3.5) ïîëó÷èì òîæäåñòâî. Äèôôåðåíöèðóÿ åãî
ïî
r
p
()
nr,...,3,2
=
, ïîëó÷èì
0
1
=
∂
ϕ∂
∂
∂
+
∂
∂
rr
pq
H
p
H
. (9.3.7)
Ñëåäîâàòåëüíî,
Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà                                                            203

ñîîòâåòñòâóåò öèêëè÷åñêîé êîîðäèíàòå                  q1 è ïóñòü
       H = H (q2 , q3 ,...qn , p1 , p2 ,..., pn , t ) .                     (9.3.1)

     òàêîì ñëó÷àå âåëè÷èíà               p1 ñîõðàíÿåò ñâîþ âåëè÷èíó â ïðîöåññå
äâèæåíèÿ
       p1 = β .                                                             (9.3.2)
      Ñèñòåìà 2n óðàâíåíèé ïðèâîäèòñÿ ê ãàìèëüòîíîâîé ôîðìå ñ
2(n − 1) ïåðåìåííûìè:
       dq2  dq        dp   dp
           = 3 = ... = 2 = 3 = ... = dt .                                   (9.3.3)
       ∂H ′ ∂H ′      ∂H ′ ∂H ′
       ∂p2  ∂p3       ∂q2  ∂q3

    Ôóíêöèÿ H ′ ïîëó÷àåòñÿ èç (9.3.1), åñëè â íåé ïîëîæèòü                   p1 = β .
Åù¸ îäíî óðàâíåíèå ìû ïîëó÷èì èç ñîîòíîøåíèÿ
                ∂H ′
       q1 = ∫        dt .                                                   (9.3.4)
                 ∂β
     Åñëè ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíîé, òî äëÿ
ïîíèæåíèÿ ïîðÿäêà ñèñòåìû óðàâíåíèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü èíòåãðàë
ýíåðãèè
       H = H (q1 , q 2 ,...q n , p1 , p 2 ,..., p n ) = h .                 (9.3.5)

     Ðàçðåøèì óðàâíåíèå (9.3.5) îòíîñèòåëüíî                    q1 (êîîðäèíàòà q1 íå
ÿâëÿåòñÿ öèêëè÷åñêîé)
       q1 = ϕ(q2 , q3 ,..., qn , p2 , p3 ,..., pn , h, p1 ) .               (9.3.6)
      Ïîäñòàâëÿÿ (9.3.6) â (9.3.5) ïîëó÷èì òîæäåñòâî. Äèôôåðåíöèðóÿ åãî
ïî   pr (r = 2,3,..., n ) , ïîëó÷èì
       ∂H ∂H ∂ϕ
          +        =0.                                                      (9.3.7)
       ∂pr ∂q1 ∂pr
      Ñëåäîâàòåëüíî,

Страницы