Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 201 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

201
Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà
Åñëè ϕ è ψ - ôóíêöèè îò
()
tpq
rr
,,, òî âûðàæåíèå
()
()
∑
=
∂
ψϕ∂
n
r
rr
pq
1
,
,
(9.1.7)
ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé n îïðåäåëèòåëåé (9.1.6), íàçûâàþò ñêîáêîé Ïó-
àññîíà è îáîçíà÷àþò ÷åðåç
()
ψϕ
,.
Òàêèì îáðàçîì,
()
Hff ,
=Ω
(9.1.8)
è èíòåãðàëû
()
ctpqf
=
,, óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà óäîâëåòâîðÿþò óðàâ-
íåíèþ
()
0,
=+
∂
∂
Hf
t
f
. (9.1.9)
Ñàìè óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ìîæíî òàêæå çàïèñàòü ñ ïîìîùüþ
ñêîáîê Ïóàññîíà:
()
Hxxx
rrr
,
=Ω=
&
,
nr 2,...,2,1=
. (9.1.10)
Ñêîáêè Ïóàññîíà èãðàþò âàæíóþ ðîëü íå òîëüêî â êëàññè÷åñêîé,
íî è â êâàíòîâîé ìåõàíèêå.
Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà ñêîáîê Ïóàññîíà:
1.
()()
ϕψ−=ψϕ
,, , (9.1.11)
2.
()()
ψϕ=ψϕ
,, cc , (9.1.12)
3.
()
∂
ψ∂
ϕ+
ψ
∂
ϕ∂
=ψϕ
∂
∂
ttt
,,, , (9.1.13)
åñëè íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ
()
tpq
rr
,,
χ=χ
, òî
4.
()()()
χψ+χϕ=χψ+ϕ
,,, , (9.1.14)
5.
()()()()()()
0,,,,,,
=ψϕχ+ϕχψ+χψϕ
. (9.1.15)
Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà                                                   201

     Åñëè    ϕ è ψ - ôóíêöèè îò (qr , pr , t ) , òî âûðàæåíèå
      n
            ∂ (ϕ, ψ )
     ∑ (∂q , p )
     r =1
                                                                   (9.1.7)
               r     r

ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé  n îïðåäåëèòåëåé (9.1.6), íàçûâàþò ñêîáêîé Ïó-
àññîíà è îáîçíà÷àþò ÷åðåç (ϕ, ψ ) .
     Òàêèì îáðàçîì,
     Ωf = ( f , H )                                                (9.1.8)

è èíòåãðàëû        f (q, p, t ) = c óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà óäîâëåòâîðÿþò óðàâ-
íåíèþ
     ∂f
        + (f ,H )= 0 .                                             (9.1.9)
     ∂t
     Ñàìè óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà ìîæíî òàêæå çàïèñàòü ñ ïîìîùüþ
ñêîáîê Ïóàññîíà:
     x& r = Ωxr = (xr , H ) ,           r = 1,2,...,2n . (9.1.10)
     Ñêîáêè Ïóàññîíà èãðàþò âàæíóþ ðîëü íå òîëüêî â êëàññè÷åñêîé,
íî è â êâàíòîâîé ìåõàíèêå.
     Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà ñêîáîê Ïóàññîíà:
     1. (ϕ, ψ ) = −(ψ, ϕ) ,                                        (9.1.11)

     2. (cϕ, ψ ) = c (ϕ, ψ ),                                      (9.1.12)

          ∂
     3.      (ϕ, ψ ) =  ∂ϕ , ψ  +  ϕ, ∂ψ  ,                (9.1.13)
          ∂t             ∂t   ∂t 
åñëè íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ         χ = χ (q r , pr , t ), òî
     4. (ϕ + ψ, χ ) = (ϕ, χ ) + (ψ, χ ) ,                          (9.1.14)

     5. ((ϕ, ψ ), χ ) + ((ψ, χ ), ϕ ) + ((χ, ϕ ), ψ ) = 0 .        (9.1.15)

Страницы