Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 200 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПсковГУ | Псков

Составители: 

Рубрика: 

200
Ãëàâà äåâÿòàÿ
ëîâ íå âõîäÿò ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè îò ýòèõ èíòåãðàëîâ. Ðåøàÿ ñèñòå-
ìó óðàâíåíèé (9.1.3) îòíîñèòåëüíî
r
q
è
r
p
, ïîëó÷èì
()
()
=
=
tcccpp
tcccqq
nrr
nrr
,,...,,
,,,...,,
221
221
nr ,...,2,1= , (9.1.4)
òî åñòü, ðåøåíèå óðàâíåíèé (9.1.1).
Íàéä¸ì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ñîîòíîøåíèå (9.1.2) áóäåò ïåðâûì
èíòåãðàëîì êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà. Ïî îïðåäåëåíèþ
ïåðâîãî èíòåãðàëà, ôóíêöèÿ
()
ctpppqqqf
nn
=
,,...,,,,...,,
2121
ïðè
çàìåíå êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ êàêèìè-ëèáî ðåøåíèÿìè óðàâíåíèé
(9.1.1) áóäåò îñòàâàòüñÿ ïîñòîÿííîé, à, ñëåäîâàòåëüíî, ïîëíàÿ ïðîèçâîä-
íàÿ îò f ïî âðåìåíè t äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ, òî åñòü
0
11
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∑∑
==
t
f
p
p
f
q
q
f
dt
df
n
r
r
r
r
n
r
r
&&
.
Èç ïîëó÷åííîãî âûøå óðàâíåíèÿ, ïîñëå çàìåíû
r
q
&
è
r
p
&
èõ âûðà-
æåíèÿìè ÷åðåç ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà H , ñëåäóåò, ÷òî èíòåãðàëû f
óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ
0=Ω+
∂
∂
f
t
f
, (9.1.5)
ãäå ëèíåéíûé îïåðàòîð Ω îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
∑
=
=
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
=Ω
n
r
rrrr
q
H
p
f
p
H
q
f
f
1
()
()
∑∑
==
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=
n
r
n
r
rr
rr
rr
p
H
q
H
p
f
q
f
pq
Hf
11
,
,
. (9.1.6)
200                                                                  Ãëàâà         äåâÿòàÿ
ëîâ íå âõîäÿò ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè îò ýòèõ èíòåãðàëîâ. Ðåøàÿ ñèñòå-
ìó óðàâíåíèé (9.1.3) îòíîñèòåëüíî             qr è pr , ïîëó÷èì
      qr = qr (c1 , c2 ,..., c2 n , t ), 
                                          r = 1,2,..., n ,                        (9.1.4)
      pr = pr (c1 , c2 ,..., c2 n , t )
òî åñòü, ðåøåíèå óðàâíåíèé (9.1.1).
      Íàéä¸ì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ñîîòíîøåíèå (9.1.2) áóäåò ïåðâûì
èíòåãðàëîì êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà. Ïî îïðåäåëåíèþ
ïåðâîãî èíòåãðàëà, ôóíêöèÿ              f (q1 , q2 ,..., q n , p1 , p 2 ,..., p n , t ) = c ïðè
çàìåíå êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ êàêèìè-ëèáî ðåøåíèÿìè óðàâíåíèé
(9.1.1) áóäåò îñòàâàòüñÿ ïîñòîÿííîé, à, ñëåäîâàòåëüíî, ïîëíàÿ ïðîèçâîä-
íàÿ îò   f ïî âðåìåíè t äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ, òî åñòü
      df   n
              ∂f       n
                          ∂f          ∂f
         =∑       q& + ∑       p& r +    = 0.
      dt r =1 ∂q r r r =1 ∂p r        ∂t
      Èç ïîëó÷åííîãî âûøå óðàâíåíèÿ, ïîñëå çàìåíû                      q& r è p& r èõ âûðà-
æåíèÿìè ÷åðåç ôóíêöèþ Ãàìèëüòîíà H , ñëåäóåò, ÷òî èíòåãðàëû                                  f
óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ
      ∂f
         + Ωf = 0 ,                                                                (9.1.5)
      ∂t
ãäå ëèíåéíûé îïåðàòîð          Ω îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
             n
                 ∂f ∂H ∂f ∂H 
      Ωf = ∑             −          =
           r =1  ∂qr ∂p r   ∂pr ∂qr 

                               ∂f          ∂f
          n
            ∂( f , H )        n
                               ∂q          ∂pr
      =∑                 =∑ r                  .                                   (9.1.6)
       r =1 ∂ (qr , pr )  r =1
                               ∂H          ∂H
                               ∂qr         ∂pr

Страницы