Введение в аналитическую динамику. Кирсанов А.А. - 199 стр.

Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà                                                                      199



                   Ãëàâà IX
                   Óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà
     Â ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì ñêîáêè Ïóàññîíà, òåîðåìó Ïóàññîíà,
ëèíåéíûé èíòåãðàëüíûé èíâàðèàíò, òåîðåìó Ïóàíêàðå î ëèíåéíîì èí-
òåãðàëüíîì èíâàðèàíòå è òåîðåìó Ëèóâèëëÿ.

        §9.1. Ñêîáêè Ïóàññîíà

     Åñëè äëÿ âñåõ çíà÷åíèé qr è                    pr , ÿâëÿþùèõñÿ ðåøåíèåì êàíîíè-
÷åñêèõ óðàâíåíèé Ãàìèëüòîíà
                   ∂H           ∂H
        p& r = −       , q& r =     , r = 1,2,..., n ,                               (9.1.1)
                   ∂qr          ∂pr
íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ             f (q1 , q2 ,..., qn , p1 , p2 ,..., pn , t ) ñîõðàíÿåò ïîñòîÿí-
íîå çíà÷åíèå:
        f (q1 , q2 ,..., q n , p1 , p 2 ,..., p n , t ) = c ,                        (9.1.2)

òî    f (q, p, t ) = c íàçûâàåòñÿ ïåðâûì èíòåãðàëîì êàíîíè÷åñêèõ óðàâíå-
íèé Ãàìèëüòîíà. Ñîâåðøåííî ÿñíî, ÷òî åñëè                        f (q, p, t ) = c ÿâëÿåòñÿ ïåð-
âûì èíòåãðàëîì, òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ F ( f ) = const áóäåò òàêæå ïåðâûì
èíòåãðàëîì. Ëåâàÿ ÷àñòü ïåðâîãî èíòåãðàëà (9.1.2) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
ôóíêöèþ êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ è âðåìåíè, êîòîðàÿ îñòà¸òñÿ ïîñòî-
ÿííîé âî âñ¸ âðåìÿ äâèæåíèÿ ïðè ëþáûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ.
     Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì èçâåñòíû                        2n ïåðâûõ èíòåãðàëîâ óðàâíå-
íèé (9.1.1), òî åñòü
        f j (q1 , q2 ,..., qn , p1 , p2 ,..., pn , t ) = c j ,   j = 1,2,...,2n ,    (9.1.3)

ãäå   c j - ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå ïåðâûå èíòåãðà-
ëû ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè, òî åñòü â ÷èñëî ðàññìàòðèâàåìûõ èíòåãðà-